¿Cuál es el orden de [matemáticas] SL_2 \ left (\ mathbb {Z} / N \ mathbb {Z} \ right) [/ math]?

Answer 1

[matemática] SL_2 (Z / NZ) [/ matemática] es el grupo de matrices [matemática] 2 * 2 [/ matemática] con entradas de [matemática] Z / NZ [/ matemática], que tienen determinante [matemática] 1 [ /matemáticas]. Supongamos que las cuatro entradas de dicha matriz son [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas], [matemáticas] c [/ matemáticas] y [matemáticas] d [/ matemáticas], organizadas de la siguiente manera:

[matemáticas] a \, \, b [/ matemáticas]

[matemáticas] c \, \, d [/ matemáticas]

Por lo tanto, la pregunta se reduce a encontrar el número de elementos cuádruples ordenados de los elementos enteros módulo [matemáticas] N [/ matemáticas] que satisfacen [matemáticas] ad – bc = 1 [/ matemáticas] (y también, [matemáticas] N [/ matemática] es un número primo, o de lo contrario [matemática] Z / NZ [/ matemática] no es un campo).

Ahora, hay una biyección entre los pares ordenados [matemática] (a, d) [/ matemática] satisfactoria [matemática] ad = 1 [/ matemática] y los pares ordenados [matemática] (a, d) [/ matemática] satisfactoria [math] ad = q [/ math] donde [math] q [/ math] es un elemento específico de [math] Z / NZ [/ math] distinto de cero. La biyección es simplemente multiplicar [matemática] a [/ matemática] por [matemática] q [/ matemática], mientras que su inverso es multiplicar [matemática] a [/ matemática] por [matemática] q ^ {- 1} [/ matemática] , que existe porque [math] Z / NZ [/ math] es un campo cuando [math] N [/ math] es primo y [math] q [/ math] no es su identidad aditiva (como [math] q [/ matemática] no es cero).

Por lo tanto, el tamaño del conjunto de pares ordenados [matemática] (a, d) [/ matemática] que satisface [matemática] ad = q [/ matemática] es independiente de la (fija) [matemática] q [/ matemática], excepto posiblemente para el caso especial de [math] q = 0 [/ math]. Hay exactamente [matemática] n ^ 2 [/ matemática] pares ordenados [matemática] (a, d) [/ matemática] (esta vez no está sujeta a ninguna restricción de multiplicación). De ellos, exactamente [matemática] 2n-1 [/ matemática] satisface [matemática] ad = 0 [/ matemática] (son los pares ordenados [matemática] (a, 0) [/ matemática], de los cuales hay [matemática] ] n [/ math] y los pares ordenados [math] (0, d) [/ math], de los cuales también hay [math] n [/ math], menos el [math] (0, 0) [/ matemáticas] que se contó dos veces).

Por lo tanto, hay [matemática] n ^ 2-2n + 1 = (n-1) ^ 2 [/ matemática] pares ordenados [matemática] (a, d) [/ matemática] que no satisfacen [matemática] ad = 0 [/matemáticas]. Se dividen exactamente de manera uniforme entre los valores posibles de [math] ad [/ math] y, por lo tanto, cada uno de los valores [math] n-1 [/ math] de [math] ad [/ math] obtiene [math] n -1 [/ math] pares ordenados.

Ahora, para un cuádruple ordenado [matemático] (a, b, c, d) [/ matemático] que satisface [matemático] ad – bc = 1 [/ matemático], hay tres casos separados:

1. [matemáticas] ad = 1 [/ matemáticas]; en este caso, [math] bc = 0 [/ math]. Hay [matemática] n-1 [/ matemática] formas de hacer que [matemática] ad [/ matemática] sea igual a [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] 2n-1 [/ matemática] formas de hacer [matemática ] bc [/ math] igual a [math] 0 [/ math], para un total de [math] (n-1) (2n-1) [/ math] formas.
2. [matemáticas] ad = 0 [/ matemáticas]; en este caso, [math] bc = n-1 [/ math]. Hay [matemáticas] n-1 [/ matemáticas] formas de hacer que [matemáticas] bc [/ matemáticas] sea igual a [matemáticas] n-1 [/ matemáticas], y [matemáticas] 2n-1 [/ matemáticas] formas de hacer [math] ad [/ math] igual a [math] 0 [/ math], para un total de [math] (n-1) (2n-1) [/ math] formas.
3. [math] ad [/ math] es algo distinto de [math] 0 [/ math] o [math] 1 [/ math]. En este caso, [math] bc [/ math] es algo diferente a [math] 0 [/ math] o [math] n-1 [/ math]. (Si [math] bc [/ math] fuera cualquiera de estos, entonces [math] ad [/ math] sería [math] 0 [/ math] o [math] 1 [/ math].) Cualquier opción fija de [ math] ad [/ math] también corrige [math] bc [/ math], y por lo tanto contribuye [math] (n-1) ^ 2 [/ math] formas de obtener [math] ad – bc = 1 [/ math] , habiendo [matemática] n-1 [/ matemática] formas de obtener el valor deseado de [matemática] ad [/ matemática] y [matemática] n-1 [/ matemática] formas de obtener el valor deseado de [matemática] bc [/matemáticas]. Esto es [math] (n-2) (n-1) ^ 2 [/ math] formas totales, habiendo [math] n – 2 [/ math] opciones de [math] ad [/ math] que no sean [math ] 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] 1 [/ matemáticas].

El total general es [matemáticas] (n-1) (2n-1) + (n-1) (2n-1) + (n-2) (n-1) ^ 2 [/ matemáticas] formas de obtener [matemáticas ] ad – bc = 1 [/ math]. Esto se simplifica a:

[matemáticas] (n-1) (2n-1 + 2n-1 + (n-2) (n-1)) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (n-1) (4n-2 + n ^ 2-3n + 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (n-1) (n ^ 2 + n) [/ matemáticas]

[matemáticas] = n ^ 3-n [/ matemáticas]

Ese es el orden de (número de elementos en) [matemática] SL_2 (Z / NZ) [/ matemática].

EDITAR: esta respuesta no cuenta la historia completa, porque supone que [math] Z / NZ [/ math] es un campo.

Answer 2

Podemos hacer esto respondiendo primero la pregunta para [math] GL_2 (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) [/ math]; una vez que tenemos eso, el determinante define un mapa sobreyectivo

[math] \ det: GL_2 (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) \ to (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) ^ {\ times} [/ math]

con kernel [math] SL_2 (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}), [/ math] por lo que el orden de [math] SL_2 [/ math] es el orden de [math] GL_2 [/ math] dividido por [math] \ varphi (n) [/ math].

El teorema del resto chino se puede usar para mostrar que [math] GL_2 (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) [/ math] es isomorfo para

[math] \ prod_p GL_2 (\ mathbb {Z} / p ^ {e_p} \ mathbb {Z}) [/ math]

donde el producto se ejecuta sobre primos y [math] n = \ prod_p p ^ {e_p} [/ math] es la factorización prima de [math] n [/ math]. Esto reduce el problema al caso de que [matemáticas] n [/ matemáticas] es una potencia principal, por ejemplo, [matemáticas] n = p ^ e [/ matemáticas].

Hay un mapa

[math] GL_2 (\ mathbb {Z} / p ^ e \ mathbb {Z}) \ a GL_2 (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) [/ math]

dada por la reducción [math] \ bmod p [/ math] que se puede demostrar que es sobreyectiva. Su núcleo consiste precisamente en matrices de la forma [math] I + pM [/ math] donde [math] M [/ math] es una matriz arbitraria; el punto es que todas esas matrices son invertibles porque [math] pM [/ math] es nilpotente. Hay [math] p ^ {4 (e-1)} [/ math] tales matrices, así que ahora hemos reducido el problema al caso de que [math] n [/ math] es primo.

Aquí finalmente podemos atacar el problema directamente. Para construir un elemento de [math] GL_2 (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) [/ math], primero tome cualquier vector distinto de cero en [math] (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} ) ^ 2 [/ math] para ser la primera columna, luego encuentre cualquier vector que no sea múltiplo del primer vector para ser la segunda columna. Puede elegir la primera columna [matemática] p ^ 2 – 1 [/ matemática] y la segunda columna [matemática] p ^ 2 – p [/ matemática] (porque exactamente los vectores [matemática] p [/ matemática] son ​​múltiplos de la primera columna). Resulta que

[matemáticas] | GL_2 (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) | = (p ^ 2 – 1) (p ^ 2 – p) [/ matemáticas]

[matemáticas] | SL_2 (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) | = p (p ^ 2 – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] | GL_2 (\ mathbb {Z} / p ^ e \ mathbb {Z}) | = p ^ {4 (e-1)} (p ^ 2 – 1) (p ^ 2 – p) = (p ^ {2e} – p ^ {2e-2}) (p ^ {2e} – p ^ {2e-1}) [/ matemáticas]

[matemáticas] | SL_2 (\ mathbb {Z} / p ^ e \ mathbb {Z}) | = p ^ e (p ^ {2e} – p ^ {2e-2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] | GL_2 (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) | = \ prod_p (p ^ {2e_p} – p ^ {2e_p-2}) (p ^ {2e_p} – p ^ {2e_p-1}) [/ math]

[matemáticas] | SL_2 (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) | = \ prod_p p ^ {e_p} (p ^ {2e_p} – p ^ {2e_p-2}) [/ math]

Esto puede ser reescrito

[matemáticas] | SL_2 (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) | = n ^ 3 \ prod_p \ left (1 – \ frac {1} {p ^ 2} \ right) [/ math]

dividiendo cada factor entre [matemáticas] p ^ {3e} [/ matemáticas]. Los productos anteriores corren sobre primos que ocurren en la factorización prima de [math] n [/ math].