Ahora podría responder esto usando aritmética modular, pero salgamos de las pistas que ya tienes.
Si [matemática] p = 3k [/ matemática], para [matemática] p> 3 [/ matemática], [matemática] p [/ matemática] no puede ser primo.
Si [math] p = 3k + 1 [/ math], tal que [math] p [/ math] es primo:
[matemáticas] (p ^ 2) +2 = ((3k + 1) ^ 2) + 2 = 9k ^ 2 + 6k + 3 [/ matemáticas]
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[matemáticas] 9k ^ 2 = 3 (3k ^ 2) = 3 m [/ matemáticas]
[matemáticas] 6k = 3 (2k) = 3n [/ matemáticas]
Entonces:
[matemáticas] (p ^ 2) + 2 = 3m + 3n + 3 = 3 (m + n + 1) [/ matemáticas] que es divisible por 3
Si [math] p = 3k + 2 [/ math], de modo que [math] p [/ math] es primo:
[matemáticas] (p ^ 2) +2 = ((3k + 2) ^ 2) + 2 = 9k ^ 2 + 12k + 6 [/ matemáticas]
[matemáticas] 9k ^ 2 = 3 (3k ^ 2) = 3 m [/ matemáticas]
[matemáticas] 12k = 3 (6k) = 3n [/ matemáticas]
Entonces:
[matemáticas] (p ^ 2) + 2 = 3m + 3n + 6 = 3 (m + n + 2) [/ matemáticas] que es divisible por 3.
De hecho, esto es cierto para cualquier número que no sea divisible por 3, independientemente de la primalidad.