Si [math] p [/ math] y [math] q [/ math] son ​​dos números primos, ¿es necesario que un grupo [math] G [/ math] de orden [math] pq [/ math] tenga exactamente cuatro subgrupos?

Answer 1

Edité la pregunta para aclarar que se trata de tener exactamente cuatro subgrupos, lo cual creo que era la pregunta prevista. Contestaré ambas versiones, por si acaso.

Un grupo [matemática] G [/ matemática] de orden [matemática] pq [/ matemática] debe tener subgrupos de orden [matemática] p [/ matemática] y orden [matemática] q [/ matemática], además del grupo trivial de orden [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y todo el grupo [matemáticas] G [/ matemáticas]. Eso son cuatro subgrupos allí mismo.

Para ver por qué esos subgrupos deben estar allí, puede apelar al Teorema de Cauchy (un grupo de orden divisible por un primo [matemático] p [/ matemático] debe contener un elemento de orden [matemático] p [/ matemático]), o Teoremas de Sylow si ya los has visto.

Además, cada subgrupo no trivial de [matemáticas] G [/ matemáticas] debe tener el orden [matemáticas] 1, p, q [/ matemáticas] o [matemáticas] pq [/ matemáticas], ya que esos son los únicos divisores de [matemáticas] pq [/matemáticas]. Los grupos de orden [math] 1 [/ math] y [math] pq [/ math] son ​​obviamente únicos. La pregunta es, ¿podemos tener más de un solo grupo de orden [matemáticas] p [/ matemáticas] o [matemáticas] q [/ matemáticas]?

La respuesta es Sí, y el ejemplo más simple es el grupo de permutación [matemática] S_3 [/ matemática] de orden [matemática] 6 [/ matemática]. Este es el grupo de permutaciones de objetos [math] 3 [/ math], y debe verificar que tenga un solo subgrupo de orden [math] 3 [/ math] pero tres subgrupos de orden [math] 2 [/ matemáticas], además del subgrupo trivial y el grupo completo, para un total de seis subgrupos en lugar de cuatro.

Por supuesto, existen grupos de orden [matemática] pq [/ matemática] con exactamente cuatro subgrupos: el grupo cíclico de orden [matemática] 6 [/ matemática] tiene exactamente un subgrupo de cada una de las órdenes [matemática] 1, 2, 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 6 [/ matemáticas].

Answer 2

Otras respuestas han hecho un buen trabajo al proporcionar contraejemplos. Aquí hay un criterio para exactamente cuándo se cumple esto:

Teorema. Si un grupo finito [matemático] G [/ matemático] de orden [matemático] pq [/ matemático] para [matemático] p, q [/ matemático] números primos distintos tiene exactamente subgrupos [matemático] 4 [/ matemático], entonces [ matemáticas] G [/ matemáticas] es cíclico.

Prueba. Los subgrupos de orden [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática] son ​​únicos, por lo tanto normales, y se cruzan trivialmente. Por lo tanto, [math] G \ cong C_p \ times C_q \ cong C_ {pq} [/ math].

Por lo tanto, si esta afirmación es verdadera para todos los grupos de orden [math] pq [/ math] para alguna elección de [math] p, q [/ math], entonces el único grupo de orden [math] pq [/ math] es [math] C_ {pq} [/ math], entonces [math] pq [/ math] es un número cíclico: tenemos [math] \ gcd (pq, \ varphi (pq)) = \ gcd (pq, (p -1) (q-1)) = 1 [/ matemáticas]. La afirmación se verifica fácilmente para [math] C_ {pq} [/ math].

Answer 3

Sí, lo es: según el teorema de Cauchy, si tienes un grupo finito G y un primo p que divide el orden de G, existe un elemento de G de orden p.

Por lo tanto, en su caso, puede encontrar un elemento de orden p y q, los grupos que generan son, por lo tanto, diferentes, además de que tiene los dos subgrupos triviales {1} y G en sí.

Para obtener más información sobre el Teorema de Cauchy, consulte wikipedia – Teorema de Cauchy (teoría de grupos) – Wikipedia, puede ser muy útil.