Sea [math] d (n) [/ math] el número de divisores de un número natural [math] n [/ math]. ¿Cómo se demuestra que [matemáticas] d (mn) = d (m) d (n) [/ matemáticas] si [matemáticas] mcd (m, n) = 1 [/ matemáticas]?

Answer 1

Es un problema combinatorio. Esto es solo un boceto, y te dejaré el rigor.

Cada divisor de mn es el producto de un divisor de my un divisor de n (donde cualquiera de las divisiones de radio podría ser 1). Por lo tanto, según el principio combinatorio para contar productos cartesianos, existen como máximo divisores [matemáticos] d (m) d (n) [/ matemáticos]. ¿Por qué “a lo sumo”? Debido a que cada pareja de divisores [matemática] (x, y), x | m, y | n [/ matemática] puede no corresponder a un divisor distinto [matemática] xy | mn [/ matemática]. Para probar el límite inferior, debemos demostrar que estos productos son distintos.

Podemos decir de inmediato que si [math] (x, y) [/ math] es un par válido de divisores, entonces [math] (y, x) [/ math] no lo es a menos que [math] x = y = 1 [/ math] debido a la restricción de primalidad relativa. Entonces, la única otra posibilidad es si hay una [matemática] (a, b) \ neq (x, y) válida, a | m, b | n [/ matemática] tal que [matemática] ab = xy [/ matemática] .

Como ay e son relativamente primos, del teorema fundamental de la aritmética se deduce que [math] a | x [/ math] o [math] x | a [/ math]. WLOG, asume lo primero. Luego, del teorema fundamental y anterior se deduce que [math] b = cy [/ math] para algunos [math] c> 1 [/ math] donde [math] c | x [/ math]. Pero luego c divide tanto myn, violando la restricción de primalidad relativa, por lo que eso también es imposible.

Por lo tanto, todos los emparejamientos tienen productos distintos y hay exactamente [matemática] d (m) d (n) [/ matemática] de ellos.

Answer 2

Dado un número [matemático] n [/ matemático], desde el teorema fundamental de la aritmética, solo hay una descomposición primaria [matemática] n = p_1 ^ {n_1} p_2 ^ {n_2} \ cdots p_k ^ {n_k}, p_1, p_2 , \ cdots, p_k [/ math] son ​​primos distintos. El número de divisores son [matemática] d (n) = ([/ matemática] [matemática] n_1 + 1) (n_2 + 1) \ cdots (n_k + 1). [/ Matemática]

Si [math] n [/ math] y [math] m [/ math] son ​​primos relativos, sus descomposiciones primarias no tendrán primos comunes, por lo que [math] d (mm) = d (n) d (m) [/ math] (con un poco de trabajo fuera de detalle).

Answer 3

En lugar de una prueba formal, usemos el sentido común, para gcd (m, n) = 1, significaría que no hay un divisor común entre los dos, es decir

Divisor de m (distinto de 1 ym): a1, a2, a3, …

Divisor de n (que no sea 1 yn): b1, b2, b3….

Para mn, todos los anteriores a y b son los divisores, así como 1, my n.

Además, múltiplos de 2 divisores (uno de un conjunto y otro para el conjunto b) también son el divisor de thr mn.

por ejemplo, a1b1, a1b2, a1, b3, …, a2, b1, a2b2, …, akbc

En otras palabras, habrá k número de divisores en un conjunto yc número de divisores en conjunto b y también 1, mn

El total del divisor se puede resumir por d (m) = k + 2 (los 2 adicionales son 1 ym) * d (n) = c + 2 (los 2 adicionales son 1 y n)

En otras palabras, d (m) * d (n)