La gente le ha dado mucha buena información aquí sobre las estructuras (anillos) involucradas, pero creo que el término principal que está buscando aquí es “isomorfismo”.
Básicamente, los reales (o los racionales …) son un grupo abeliano además. Los reales positivos forman un grupo abeliano bajo multiplicación. Hay un isomorfismo entre los dos grupos, que dice que siempre y cuando se limite solo a la estructura de suma (multiplicación) antes (después) de la transformación, los dos conjuntos tienen * exactamente el mismo comportamiento *.
Combine esto con el hecho de que puede definir la “suma” repetida (realmente, la aplicación de la operación grupal) en cualquier elemento de cualquier grupo, y verá que desde el punto de vista de este isomorfismo, la multiplicación y la exponenciación * son lo mismo. *. Solo son aplicaciones repetidas de la misma operación, comenzando por la identidad.
Hice estos como grupos porque esto también se relaciona con la noción de inverso. En los grupos aditivos, también tenemos la noción de que para cada a, hay otro elemento (o posiblemente el mismo), “-a”, de modo que a + (- a) = 0. La expresión aa solo significa algo debido a los axiomas del grupo, lo que significa que puede traducirlo sin ambigüedades a un + (- a). La misma estructura exacta en un grupo multiplicativo es la inversión, cada elemento a tiene un ^ (- 1) tal que a * a ^ (- 1) = 1.
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