¿Cuál es el resto cuando x + x ^ 9 + x ^ 25 + x ^ 49 + x ^ 81 se divide por (x ^ 3-x)?

Answer 1

Modificaré un poco la respuesta de Aman Bandhiya .

Dado que [matemáticas] x ^ ny ^ n = (xy) (x ^ {n-1} + x ^ {n-2} y + x ^ {n-3} y ^ 2 + \ cdots + xy ^ {n- 2} + y ^ {n-1}) [/ math], vemos que [math] xy [/ math] divide [math] x ^ ny ^ n [/ math] para cada entero positivo [math] n [/ matemáticas]. En particular, [matemática] x-1 [/ matemática] divide [matemática] x ^ n-1 [/ matemática] para cada entero positivo [matemática] n [/ matemática].

Entonces [math] x ^ 2–1 [/ math] divide cada uno de los polinomios [math] \ big (x ^ 2 \ big) ^ {40} -1, \ big (x ^ 2 \ big) ^ {24} -1, \ big (x ^ 2 \ big) ^ {12} -1, \ big (x ^ 2 \ big) ^ 4–1 [/ math]. De ahí el resto cuando

[matemáticas] x ^ {80} + x ^ {48} + x ^ {24} + x ^ 8 + 1 = (x ^ {80} -1) + (x ^ {48} -1) + (x ^ {24} -1) + (x ^ 8–1) +5 [/ matemáticas]

se divide entre [matemáticas] x ^ 2–1 [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] 5 [/ matemáticas].

Para que podamos escribir

[matemáticas] x ^ {80} + x ^ {48} + x ^ {24} + x ^ 8 + 1 = q (x) \ cdot (x ^ 2–1) + 5 [/ matemáticas]

para algunos polinomios [matemática] q (x) [/ matemática] con coeficientes enteros.

Multiplicar por [matemáticas] x [/ matemáticas] da

[matemáticas] x ^ {81} + x ^ {49} + x ^ {25} + x ^ 9 + x = x \, q (x) \ cdot (x ^ 2–1) + 5x [/ matemáticas].

Por lo tanto, el resto es [matemática] 5x [/ matemática].

Answer 2

sea ​​f (x) = q (x) (x-1) + r = 1 + x ^ 8 + x ^ 24 + x ^ 48 + x ^ 80

f (x) = Q (x) (x + 1) + R

f (x) = q ‘(x) (x + 1) (x-1) + ax + b

af (x) = q ‘(x) (x³-x) + ax² + bx

f (1) = a + b = r

f (-1) = – a + b = R

b = ½ (r + R) = ½ (5 + 5) = 5

a≈½ (rR) = 0

∴reqd resto = ax² + bx = 5x