¿Cuál es el resto de [matemáticas] (75 ^ {80}) / 7? [/ Matemáticas]

Answer 1

Aquí el divisor = 7, un número primo. Entonces usaremos el teorema de Fermat.

Aplicando el teorema de Fermat,

EL PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT por Sarthak Dash en RESTANTES

• [matemáticas] R [\ frac {(75 ^ 6)} {7}] = 1 [/ matemáticas]
• Además, [matemáticas] R [\ frac {(75 ^ {6k})} {7}] = 1 [/ matemáticas], donde 6k es un múltiplo si 6
• Entonces, [matemáticas] R [\ frac {(75 ^ {78})} {7}] = 1 [/ matemáticas]

Ahora, [matemáticas] R [\ frac {(75 ^ {80})} {7}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = R {[\ frac {(75 ^ {78}) * (75 ^ 2)} {7}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = R [\ frac {(75 ^ {78})} {7}] * R [\ frac {(75 ^ 2)} {7}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 * 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4 [/ matemáticas] ( Respuesta )

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Answer 2

Propiedades de la congruencia de módulos:

Si

[matemáticas] A_1 ≡ B_1 [/ matemáticas] mod m; y [matemáticas] A_2 ≡ B_2 [/ matemáticas] mod m;

Entonces

[matemáticas] A_1 * A_2 ≡ B_1 * B_2 [/ matemáticas] mod m; …………. (1)

[matemáticas] A_1 + A_2 ≡ (B_1 + B_2) [/ matemáticas] mod m; …….…. (2)

[matemática] A_1 * k ≡ B_1 * k [/ matemática] mod m; ……………… .. (3)

[matemáticas] A_1 ≡ (B_1-m) [/ matemáticas] mod m; ………………… (4)

[matemática] A_1 ≡ (B_1 + m) [/ matemática] mod m; ………………. (5)

[matemática] A_1 ^ n ≡ B_1 ^ n [/ matemática] mod m; ……………… (6)

Además, no existe una IA que pueda calcular [matemática] 75 ^ {80} [/ matemática] [matemática] [/ matemática] pero utilicemos las propiedades anteriores para obtener lógicamente la solución.

Empecemos con

[matemáticas] 75 ≡ 5 mod 7 ≡ -2 mod 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica [/ matemáticas]

[matemática] 75 ^ 3 ≡ (-2) ^ 3 mod 7 ≡ -8 mod 7 ≡ -1 mod 7; [/ matemática]

[matemáticas] \ implica (75 ^ 3) ^ {26} ≡ (-1) ^ {26} mod 7; [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 75 ^ {78} ≡ 1 mod 7; [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 75 ^ {78} * 75 * 75≡1 * 5 * 5 mod 7≡25 mod 7 ≡4 mod 7; [/ math]

[matemáticas] \ implica 75 ^ {80} ≡ 4 mod 7; [/ matemáticas]

Por lo tanto, el resto es 4;

Había cometido un pecado al principio. ¡Gracias a cierta persona, todo está corregido!

[matemática] \ Enorme {\ Enorme {\ Enorme {\ color {azul} {{\ ddot \ smile} {\ ddot \ smile}}}}} [/ math]

[matemáticas] \ Enormes {\ Enormes {\ Enormes {\ Enormes {\ color {# 0f0} {\ marca de verificación}}}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Enorme {\ color {violeta} {¡Paz!}} [/ matemáticas]

Answer 3

Podemos usar el teorema de Fermitt, donde divide la potencia de un número con el número de Fermitt, y si la potencia del número es un múltiplo del número de Fermitt, entonces el resto es 1.

El número de Fermitt no es más que el número de números menor que el número y también que son primos del número dado. Considere 7 aquí, el número de primos co 7 es 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Puede ser dada por la fórmula, N * (1–1 / p) (1–1 / q) ……. Donde p y q son los factores primos del número dado N. Entonces el número de Fermitt para 6 será, 6 * (1–1 / 2) * (1–1 / 3), dándonos el número de Fermitt como 2.

En nuestro caso, el número de Fermitt es 6. Ahora dividimos la potencia 80 por 6, dejándonos el resto como 2. Ahora 75 puede reescribirse como (77–2). Por lo tanto, efectivamente nuestra pregunta se ha reducido a ((77–2) ^ 80) / 7. Ahora, dado que nuestro resto es -2, podemos escribirlo como, ((-2) ^ 80) / 7. Ahora aplique el teorema de Fermitt para obtener 2 en la potencia en lugar de 80. Entonces ((-2) ^ 2) / 7. Dándonos el resto deseado 4 .

Answer 4

75 ^ 80 = (77–2) ^ 80.

77 es divisible por 7 y si tuviera que escribir la expansión binomial, el único término sin 7 será (-2) ^ 80, es decir, 2 ^ 80.

Por lo tanto, rem ((75 ^ 80) / 7) = rem ((2 ^ 80) / 7).

Del mismo modo, 2 ^ 80 = ((2 ^ 3) ^ 26) x4.

Ahora 2 ^ 3 es 8, lo que da el resto 1 cuando se divide por 7.

(1) ^ 26 = 1, que deja 4 como nuestro resto.

Answer 5

Respuesta: 4

[matemáticas] 75 ^ {80} [/ matemáticas] mod 7

→ [matemáticas] 5 ^ {160} \ veces 3 ^ {80} [/ matemáticas] mod 7

5 = 7 – 2

→ [matemáticas] 2 ^ {160} \ veces 3 ^ {80} [/ matemáticas] mod 7

[matemáticas] 2 \ veces 3 = 6 [/ matemáticas]

→ [matemáticas] 6 ^ {80} \ veces 2 ^ {80} [/ matemáticas] mod 7

6 = 7 – 1

→ [matemáticas] 2 ^ {80} [/ matemáticas] mod 7

[matemáticas] 80 = 26 \ veces 3 + 2 [/ matemáticas]

→ [matemáticas] 8 ^ {26} \ veces 2 ^ 2 [/ matemáticas] mod 7

→ [matemáticas] 2 ^ 2 [/ matemáticas]

= 4

Answer 6

La respuesta es 4

Para responder a este primer ciclo de encontrar restos de 75 ^ nn = 1,2,3, _, _

75 ^ 1 ÷ 7 el resto es 5

75 ^ 2 ÷ 7 el resto es 4

75 ^ 3 ÷ 7 el resto es 6

75 ^ 4 ÷ 7 el resto es 2

75 ^ 5 ÷ 7 el resto es 3

75 ^ 6 ÷ 7 el resto es 1

75 ^ 7 ÷ 7 el resto es 5

Entonces el ciclo se repite después de 6 veces, así que divida la potencia 80 por 6 80/6 el resto es 2, por lo que la posición es 2, por lo tanto, 4 es el resto

Nota: es difícil encontrar potencias de un número de dos dígitos después del cuadrado, así que siga el método a continuación

Answer 7

En términos de aritmética modular.

[matemáticas] 75 ^ {80} ≡ x (mod 7) [/ matemáticas]

[matemáticas] 75 ≡ 5 (mod 7) [/ matemáticas]

[matemáticas] 75 ^ {80} ≡ 5 ^ {80} (mod 7) [/ matemáticas]

Ahora usando el teorema de Euler [matemáticas] a ^ {phi (n)} ≡ 1 (mod n) [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] 5 ^ {80} ≡ 5 ^ 2 (mod 7) [/ matemáticas]

[matemáticas] 25 ≡ 4 (mod 7) [/ matemáticas]

La respuesta es 4

Answer 8

Considerando la parte numeradora del problema, tenemos 75 ^ 80, que es 75 * 75 * 75 * ………. (80 veces)… * 75.

Ahora, el elemento que se repite en la expresión, es decir, se supone que 75 se divide en múltiplos del denominador ‘7’. 7 * 10 da 70, por lo que se puede representar como 70 + 5, siendo 70 el múltiplo más alto del denominador, menos que el elemento repetitivo 75.

Entonces, el numerador se puede escribir como (70 + 5) * (70 + 5) ……… (80 veces)… * (70 + 5). Esto se puede ampliar aún más como 70 (* … .. algo …) + 5 ^ 80 ,. 70 * algo devuelve un resto de 0 cuando se divide por 7, por lo tanto, puede deducirse de nuestro numerador sin alterar la solución final.

Esto prueba que (75 ^ 80)% 7 es similar a (5 ^ 80)% 7. (% se usa para representar el resto, los codificadores lo sabrán)

Ahora, considere 5 ^ 80. Como 5 (nuestro elemento repetitivo en el numerador) es menor que 7 (nuestro denominador), usar la misma estrategia que la anterior no resolverá más el problema. Entonces, nuestro próximo objetivo será aumentar el valor de nuestro elemento repetitivo en el numerador de modo que sea mayor que el denominador (7). Sabemos que (a ^ b) ^ c es igual a a ^ (b * c), 5 ^ 80 se puede escribir como (5 ^ 2) ^ 40, que es 25 ^ 40.

De la explicación anterior, 25 es 21 + 4, por lo tanto (25 ^ 40)% 7 es similar a (4 ^ 40)% 7.

Del mismo modo, 4 ^ 40 es igual a 16 ^ 20, que es 14 + 2, por lo tanto, nuestro problema se reduce a encontrar el resto de (2 ^ 20) cuando se divide por 7.

De nuevo, (2 ^ 20) es (2 ^ 18) * 4, que es igual a (8 ^ 6) * 4. 8 da un resto de 1, cuando se divide por 7, y por lo tanto la expresión se reduce a (1 ^ 6) * 4, que es 4. Como 4 es menor que el denominador, el resto es 4 en sí.

Answer 9

Para resolverlo, en lugar de usar teoremas, podemos usar algunos conceptos básicos:

(75) ^ 80/7 = Rem (-2) ^ 80 (77 es divisible por 7, entonces -2 es el resto negativo) que es igual a 2 ^ 80.

Ahora 2 ^ 80 se puede escribir como {(2 ^ 3) ^ 26} * 2 ^ 2 y esto es lo mismo que (8 ^ 26) * 4

Ahora {(8 ^ 26) * 4} / 7 dará 4 como resto porque 8 ^ 26 dará 1 como resto.

Entonces, 75 ^ 80/7 da 4 como resto.

Answer 10

Para resolver tales preguntas, primero dibuje una analogía

75 ^ 1 = 75 …… mod 7 da 5 como resto

75 ^ 2 = 5625… .mod 7 da 4 como resto

75 ^ 3 = 421875… ..mod 7 da 6 como resto

75 ^ 4 = 31640625… .mod 7 da 2 como resto

75 ^ 5 = 2373046875… .mod 7 da 3 como resto

75 ^ 6 = 177978515625… .mod 7 da 1 como resto

75 ^ 7 = 13348388671875… ..mod 7 da nuevamente 5 como resto

Entonces, la secuencia se repite después de cada 6 pasos,

80 mod 6 …… da 2 como resto, por lo tanto, como se mencionó anteriormente, el paso 2 da 4 como resto

La respuesta es 4

Answer 11

Siempre que tenga preguntas como esta, intente convertirlo en una potencia menor de un número menor usando múltiplos de 7. 75 puede escribirse como 77–2. 75 ^ 80 se convertirá en (77–2) ^ 80. Como 77 será divisible por 7, tendrá que centrarse en -2 ^ 80. Sabemos que 2 ^ 3 es 8 y cuando dividimos 8 entre 7 obtendremos un recordatorio de 1. -2 ^ 80 puede escribirse como ((-2) ^ 3) ^ 26 * -2 ^ 2

Cuando -2 ^ 3 se divide por 7 obtendremos un recordatorio de -1

-1 ^ 26 devolverá 1 y -2 ^ 2 devolverá 4

1 * 4/7 dará un recordatorio de 4 y la respuesta es 4

Answer 12

75 ≡ 5 (módulo 7)
(75) ^ 80≡5 ^ 80 (módulo 7)

5 ^ 4 ≡2 (módulo 7)
5 ^ 80≡2 ^ 20 (módulo 7)

2 ^ 4≡2 (módulo 7)
2 ^ 20 ≡ 2 ^ 5 (módulo 7)

2 ^ 5 = 32≡4 (módulo 7)

por lo tanto, el resto en este caso es 4.

Answer 13

El resto sería 4.

Consulte la imagen para obtener una respuesta detallada.

Answer 14

Nuestro objetivo es obtener una potencia de 75 que cuando se divide entre 7 deja el resto 1.

Podemos escribir 75 como

75 = 7x + 5

(75) ^ 2 = 7y + 25 = 7u + 4

(75) ^ 3 = 7z + 125 = 7a-1

(75) ^ 6 = 7b + 1

PD: – x, y, u, z, a, b son enteros.

Ahora (75) ^ 80 = [(75) ^ 6] ^ 13 × (75) ^ 2

Esta expresión cuando se divide por 7 dejará el resto 1 × 4 = 4. (Como hemos demostrado anteriormente, 75 aumentaron a la potencia 6 y 2 deja el resto 1 y 4 respectivamente cuando se divide por 7)

¡¡Feliz de ayudar!!

Answer 15

En primer lugar, la respuesta a esta pregunta será el 4, ya que el divisor por el cual se debe dividir un número, 75 ^ 80, es un número primo, por lo que en el caso de un número primo como divisor; siempre tomamos un número menos que cualquier el número original es .thus, hay algunos procedimientos para hacerlo como se resuelve que es como barbechos

75 ^ 80/7 cuando se resuelva a través de lo que mencioné en las líneas anteriores, su recordatorio será, creo, 4.

Answer 16

4 4

E (7) = 6

La pregunta se puede reducir a 5 ^ 2.

El resto es 4.

Answer 17

75 ^ 80 mod 7

= (- 2) ^ 80 mod 7

= 8 ^ 26 * 4 mod 7

= 1 * 4 mod 7

= 4

Espero que esto ayude

Buena suerte