¿La integral de una función impar compleja también es 0 como en el análisis real?

Los puntos de singularidad para una función compleja producen residuos.
Para comprender lo que eso significa, debe comprender que los Residuos aparecen como términos imaginarios en la Serie Mclaurin que expande una Función compleja como una suma de Polinomios infinitos. Los términos imaginarios se denominan residuos.
En consecuencia, al integrar una función compleja [matemática] f (z) [/ matemática] sobre cualquier contorno [matemática] \ matemática {B} [/ matemática] [matemática] \ en [/ matemática] [matemática] \ matemática {C} [/ math], siempre que [math] \ existe [/ math] [math] z [/ math] [math] \ in [/ math] [math] \ mathbb {B} [/ math], [math] \ ni [/ math], [math] f (z) = undefined [/ math], simplemente agregamos los residuos (de [math] f (z) [/ math]) para evaluar la integral en los puntos donde la función tiene una singularidad . Este resultado extremadamente elegante se llama Teorema de Residuos, y su prueba se deriva de la fórmula Cauchy-Integral.
En específico, dada la función [matemática] f (z) = \ frac {1} {z – i} [/ matemática] (parametrizada de cualquier forma que haya singularidades [matemática]> 0 [/ matemática] dentro del contorno), simplemente obtenemos la siguiente expresión de la fórmula Cauchy-Integral:
[matemáticas] \ oint _ {\ mathbb {B}} f (z) = (2 \ pi i) [residuo (z = i) | _ {f (z)}] [/ matemáticas]
De hecho, notará que esta función es analítica y, por lo tanto, infinitamente diferenciable, lo que conduce a una maravillosa expresión de forma cerrada para diferenciaciones repetitivas (y / o integrales).