¿Es esta una buena prueba de aritmética modular?

Answer 1

[matemáticas] n ^ 4–4n ^ 3 + 5n ^ 2–2n [/ matemáticas]

[matemáticas] = n (n ^ 3–4n ^ 2 + 5n-2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = n (n ^ 3–2n ^ 2–2n ^ 2 + 5n-2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = n \ {n ^ 2 (n-2) – (2n ^ 2–5n + 2) \} [/ matemáticas]

[matemáticas] = n \ {n ^ 2 (n-2) – (2n ^ 2–4n-n + 2) \} [/ matemáticas]

[matemáticas] = n \ {n ^ 2 (n-2) – (2n (n-2) -1 (n-2)) \} [/ matemáticas]

[matemáticas] = n (n-2) (n ^ 2–2n + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (n-2) (n-1) ^ 2n [/ matemáticas]

---

Vemos que contiene el producto de tres números consecutivos.

• Al menos uno de estos es divisible por [matemáticas] 2 [/ matemáticas]
• Al menos uno de estos es divisible por [matemáticas] 3 [/ matemáticas]
• Entonces el número es divisible por [matemáticas] LCM (2,3) = 6 [/ matemáticas]

---

Conjetura: [matemática] 4 \ mid (n-1) ^ 2 [/ matemática], aunque no la voy a usar en mis cálculos.

Caso I: [matemáticas] n = 2k [/ matemáticas]

[matemáticas] (2k-2) (2k-1) ^ 2 (2k) = 4k (k-1) (2k-1) ^ 2 [/ matemáticas]

Este número es divisible por [matemáticas] 4 [/ matemáticas], y ya hemos demostrado anteriormente que esto también es divisible por [matemáticas] 3 [/ matemáticas]. Por lo tanto, es divisible por [matemáticas] LCM (3,4) = 12 [/ matemáticas]

Caso II: [matemáticas] n = 2k + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (2k-1) (2k-2) ^ 2 (2k + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4 (2k-1) (k-1) ^ 2 (2k + 1) [/ matemáticas]

[Ya sea [matemáticas] 2 \ mid (2k-1) [/ matemáticas] o [matemáticas] 2 \ mid (2k + 1), [/ matemáticas] [matemáticas] \ porque (2k + 1) – (2k-1) = 2] [/ matemáticas]

De nuevo, ya probamos anteriormente que esto también es divisible por [math] 3 [/ math]. Por lo tanto, es divisible por [matemáticas] LCM (3,4) = 12 [/ matemáticas]

---

Y creo que hemos terminado

Answer 2

(No veo tu prueba, así que solo colocaré una para poder guiar al lector).

Sería más fácil comenzar factorizando el polinomio (preferiblemente usando el teorema del resto para descubrir las raíces):

[matemáticas] n ^ 4 – 4n ^ 3 + 5n ^ 2 – 2n = n (n ^ 3 – 4n ^ 2 + 5n – 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] f (n) = n (n-2) (n-1) ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora, dividamos el problema en dos casos. (Haré el primero, el segundo se deja al lector como ejercicio):

Caso 1: [matemáticas] n [/ matemáticas] es par; es decir, es un número entero multiplicado por 2 (deje que el número entero sea ​​[matemática] x [/ matemática]; [matemática] n = 2x [/ matemática]):

[matemáticas] f (2x) = (2x) (2x-2) (2x-1) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2x * 2 (x-1) * (2x-1) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemática] = 4x (x-1) (2x-1) ^ 2 [/ matemática]

Woah … paremos aquí … .. Hay un cuatro [1]. Dado que 12 = 4 * 3, y ya “satisfacemos” los cuatro, solo necesitamos asegurarnos de que [math] f (x) [/ math] sea divisible por tres.

[2] Veamos si todos los valores de [math] x [/ math] permiten que la ecuación se vuelva divisible por tres, usando aritmética modular.

Deje [math] x \ equiv 0 (mod 3) [/ math]; o divisible por tres. Entonces la [matemática] 4x \ equiv 0 (mod 3) [/ matemática]; y toda la ecuación es divisible por tres.

Deje [math] x \ equiv 1 (mod 3) [/ math]; o uno más un múltiplo de tres. Entonces [matemáticas] x-1 \ equiv 1-1 \ equiv 0 (mod 3) [/ matemáticas]; y nuevamente, la ecuación es divisible por 3.

Deje [math] x \ equiv 2 (mod 3) [/ math]; o dos sobre un múltiplo de 3. Entonces [matemáticas] (2x-1) ^ 2 \ equiv (4-1) ^ 2 \ equiv 9 \ equiv 0 (mod 3) [/ matemáticas]; todavía divisible por 3.

Como [math] f (x) [/ math] es divisible por tres cuando [math] x [/ math] es 0, 1 o 2 más que un múltiplo de tres, sabemos que [math] f (x) [ / math] es divisible por tres para todos los enteros [math] x [/ math].

Como nuestra ecuación es divisible por 4 [1] y 3 [2], podemos concluir que [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] es divisible por 12 para todos los enteros pares.

(Dejaré que el lector pruebe los casos impares, ya que es lo mismo que los casos pares pero con 1 extra para hacer que 2x + 1 sea impar. Es decir, intente sustituir [matemática] f (2x + 1) [/ matemática ] en la ecuación, (¡alerta de spoiler! →) factoriza un 4 (nuevamente), luego realiza la misma comprobación de caso aritmético modular como se muestra arriba para concluir que [math] f (2x + 1) [/ math] es divisible por 3)

Answer 3

No veo tu razonamiento. Verificaría que es divisible por 3 y por 4 para todos los renainders. Hay un buen atajo aquí.

La expresión es igual a 0 para n = 1 y 0, es igual a 12 para n = -1.

Los restantes por mod (3) son 0, 1, 2 o 0, 1, -1. Ambos 0 y 12 divisibles por 3

Los recordatorios por mod (4) son 0,1,2,3 o 0,1, 2, -1. Ya lo calculamos para todo, pero 2 y vemos que es divisible por 4. ¿Qué pasa con 2? 2 en cualquier potencia mayor que 1 es divisible por 4. Solo deja el término -2n y también es divisible por 4.

Entonces, es divisible por 3 y 4, por lo tanto, por 12.

El atajo me permitió reducir el estrés de la computación solo para el caso del resto -1, y puedo mostrarle cómo hacerlo sin calculadora o un trozo de papel.