Cómo encontrar [matemática] n [/ matemática] de modo que el resto de la división euclidiana de [matemática] n ^ 2 + n [/ matemática] por [matemática] 5 [/ matemática] sea igual a [matemática] 2 [/ matemáticas], donde [matemáticas] n \ in \ Z [/ matemáticas]

Answer 1

Usas aritmética modular. Tenga en cuenta que si [matemáticas] n = 5a + b [/ matemáticas] que [matemáticas] n ^ 2 + n = 5a ^ 2 + 10ab + b ^ 2 + 5a + b [/ matemáticas]. Sacando los múltiplos de 5, nos queda con [matemáticas] b ^ 2 + b [/ matemáticas], por lo que el resto será el mismo si suma o resta 5 de un número. Por lo tanto, solo necesita verificar 5 posibilidades: 0, 1, 2, 3, 4, ya que todos los demás números se pueden obtener sumando o restando 5 a estas múltiples veces.

• [matemáticas] 0 ^ 2 + 0 [/ matemáticas] tiene resto 0
• [matemáticas] 1 ^ 2 + 1 [/ matemáticas] tiene el resto 2
• [matemáticas] 2 ^ 2 + 2 [/ matemáticas] tiene el resto 4
• [matemáticas] 3 ^ 2 + 3 [/ matemáticas] tiene el resto 2
• [matemáticas] 4 ^ 2 + 4 [/ matemáticas] tiene resto 0

Entonces, las soluciones son cualquier [matemática] n [/ matemática] de la forma [matemática] 5x + 1 [/ matemática] o [matemática] 5x + 3 [/ matemática] para la integral [matemática] x [/ matemática]. Esto incluye números como 1, 3, 6, 8, 11, 13 y -2, -4, -7, -9, -12, -14.

Answer 2

n = 1 es la respuesta que viene inmediatamente a la mente. n = -2 también funciona. Si desea encontrar otras soluciones, le mostraré cómo hacerlo ahora.

Reconozca que n ^ 2 + n siempre es par, y para ajustarse a sus criterios debe tomar la forma 10k + 2 para algún entero k.

Ahora intenta resolver n ^ 2 + n = n (n + 1) = 2, ya que es lo más fácil de intentar. Como antes, puede observar esto y ver que n = 1 yn = -2 son soluciones. De hecho, son las únicas soluciones de números enteros para esta ecuación en particular. Eso es porque esta es una ecuación cuadrática y solo puede tener dos raíces.

Entonces, para encontrar otras soluciones, podemos usar la fórmula cuadrática para resolver n ^ 2 + n – (10k + 2) = 0 para cualquier k. Sin embargo, esto no siempre produce soluciones de números enteros.

Answer 3

⑴ n² + n = 5Q + 2

n² + n-2 = 5Q, Q es el cociente,

(n + 2)) (n-1) = 5Q

⑵ Para que (n + 2 {} (n-1)) sea divisible por 5,

(n-1) o (n + 2) deben ser múltiplos de 5

∴ n = 3,8,13,18,23,28 ……

obviamente, n forma un AP, con a≈3, d = 5

∴ n = 3 + 5 (m — 1) = 5m-2 .m cualquier número entero m≥1

Answer 4

Dado que

[matemáticas] n ^ 2 + n \ equiv 2 \ mod 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica n ^ 2 + n-2 \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica (n + 2) (n-1) \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemática]

Ya sea

[matemáticas] n + 2 \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica n \ equiv -2 \ mod 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica n \ equiv 3 \ mod 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica n = 5k + 3 [/ matemáticas]

O

[matemáticas] n-1 \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica n \ equiv 1 \ mod 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica n = 5k + 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, las soluciones son

[matemática] n = 5k + 1 [/ matemática] o [matemática] n = 5k + 3 [/ matemática] donde [matemática] k \ in \ Z [/ matemática]

Answer 5

n (n + 1) = 5m + 2, m = 2 da n = 3