¿Es el hecho de que la hipótesis de Riemann es una prueba empíricamente comprobable de que es demostrable?

Answer 1

Si la hipótesis de Riemann es falsa, y hay un cero de la función zeta de Riemann en la tira crítica pero no en la línea crítica, entonces, en principio, sería posible demostrar que es falsa usando un cálculo. (Aproxime la función zeta lo suficientemente cerca en un rectángulo que encierra el cero malo para mostrar que la función zeta se ajusta a 0.) La hipótesis de Riemann es equivalente a la inexistencia de tal contraejemplo.

Eso lo ubica en una clase de declaraciones conocidas como [math] \ pi ^ 0_1 [/ math]. Como ya ha señalado otro respondedor, es equivalente a una declaración de la forma “para todos los enteros n, n tiene la propiedad P” donde P es computable. De hecho, se puede requerir que P sea computable dentro del tiempo limitado por n. Muchas conjeturas matemáticas son [matemáticas] \ pi ^ 0_1 [/ matemáticas]. Algunas personas dirían que uno debe tener cuidado de distinguir entre oraciones que ya están sintácticamente en la forma requerida y las que se sabe que son equivalentes a dicha oración, pero todas las equivalencias aquí son razonablemente naturales.

En un nivel intuitivo, es inverosímil suponer que siempre podemos determinar si existe un contraejemplo. Hay un resultado riguroso correspondiente, el teorema de incompletitud de Goedel. Un conjunto suficientemente fuerte de axiomas y reglas deductivas (que en realidad no tiene que ser muy fuerte, solo la aritmética de Robinson – Wikipedia) que es consistente no puede probar o refutar algunas oraciones. El ejemplo producido en la prueba es una oración G que es equivalente a “G no es demostrable en S”. Esta oración también está en [math] \ pi ^ 0_1 [/ math]. Si la declaración G tenía una prueba en S, entonces S es lo suficientemente fuerte como para mostrar que G es demostrable en S, y también que G es falso. Eso haría a S inconsistente. Cuando S es consistente, entonces G es verdadero pero no demostrable. (Puede ser refutable, pero eso significaría que el sistema S tiene falsos teoremas).

Entonces, si bien no conocemos la hipótesis de Riemann en sí, sí sabemos que hay otras declaraciones de la misma forma lógica general que no son demostrables usando solo axiomas que nos gusta usar. (Si son inconsistentes, una prueba formal de la hipótesis de Riemann de ellos no contaría como una prueba en el sentido informal de la palabra. Este escenario no sucederá: el futuro de las matemáticas).

Answer 2

Te estás refiriendo a un hecho que no es un hecho. No es cierto que la HR sea empíricamente comprobable. Estamos en matemáticas, no en física.

Las pruebas empíricas no son imposibles en matemáticas, pero tendrías que pasar por

• una enumeración completa de los casos (lo que significa que tiene que calcular TODOS los ceros no triviales, absolutamente imposible, ya que esta no es una cantidad finita).
• Un análisis teórico de la estructura de los ceros, que reduciría la afirmación de HR a un número finito de casos, que luego puede calcular a mano o con la ayuda de una supercomputadora rápida. Este fue el procedimiento adoptado por Appel y Haken en su prueba del teorema de 4 colores.

Probar la primera opción sería una absoluta idiotez. Sin embargo, cualquier éxito en el segundo sin duda se consideraría un gran progreso, incluso si el número resultante de casos es de varios billones, y fuera del alcance incluso de las máquinas más rápidas.

Todos los demás cálculos solo proporcionan ejemplos (y si lo desea, añadiendo a la creencia general, que RH debe ser cierto). Sin embargo, no tiene ningún poder de prueba.

Existe el notorio ejemplo de estudio de la diferencia entre la estimación del teorema del número primo de Gauss y la verdadera función de conteo primo [math] \ pi (x) – \ text {li} (x) [/ math]. Littlewood demostró que esta diferencia cambia de signo infinitamente a menudo. Incluso con las máquinas más grandes hoy en día, el primer cambio de signo necesita ser descubierto, y los cálculos se elevaron a algo como [matemática] x = 10 ^ {15} [/ matemática]. Eso debería decirle todo sobre la diferencia entre una prueba matemática y el cálculo de ejemplos.

Answer 3

Bueno, si es falso, debe existir un contraejemplo. Entonces, si no existe, la hipótesis es correcta. Por supuesto, no puede usar un algoritmo para determinar si es correcto.

Eso es siempre y cuando con demostrable te refieres a decidible. Entonces, la parte importante es que en todos los modelos de aritmética este contador de ejemplo debe existir si es falso.