Si [math] pq [/ math] divide [math] p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2 + s ^ 2 [/ math], donde [math] p, q, r, s [/ math] son ​​positivos enteros, [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas] son ​​relativamente primos, [matemáticas] r [/ matemáticas] y [matemáticas] s [/ matemáticas] también lo son, y [matemáticas] pq = rs [/ math], ¿al menos uno de los números tiene que ser 1?

Answer 1

Motivado por el contraejemplo de Nathan Smith y los comentarios de Jim Bridges , tengo el siguiente contraejemplo analítico (no generado por computadora).

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Un contraejemplo debe tener [math] \ min \ {p, q, r, s \} \ ge 2 [/ math]. Establezca [matemática] r = 2 [/ matemática]. Sea [math] p [/ math] un primo impar , y [math] q = 2p ^ {\ prime} [/ math] donde [math] p ^ {\ prime} [/ math] es un primo impar distinto de [matemáticas] p [/ matemáticas]. Entonces [math] s = pp ^ {\ prime} [/ math]. Tenga en cuenta que [math] \ gcd (p, q) = \ gcd (r, s) = 1 [/ math] y [math] pq = rs [/ math]. Debemos encontrar primos impares distintos p, p ^ {\ prime} de modo que

[matemáticas] 2pp ^ {\ prime} \ mid \ big (p ^ 2 + 4 {p ^ {\ prime}} ^ 2 + 4 + (pp ^ {\ prime}) ^ 2 \ big) = (p ^ 2 +4) ({p ^ {\ prime}} ^ 2 + 1) [/ math].

Como [matemáticas] 2 \ mid ({p ^ {\ prime}} ^ 2 + 1) [/ matemáticas], nos queda con

[matemáticas] p \ mid (p ^ 2 + 4) ({p ^ {\ prime}} ^ 2 + 1) [/ matemáticas] y [matemáticas] p ^ {\ prime} \ mid (p ^ 2 + 4) ({p ^ {\ prime}} ^ 2 + 1) [/ math],

o con

[matemática] p \ mid ({p ^ {\ prime}} ^ 2 + 1) [/ math] y [math] p ^ {\ prime} \ mid (p ^ 2 + 4) [/ math]. [matemáticas] … (\ estrella) [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] -1 [/ math] es un mod cuadrado [math] p [/ math] y [math] -4 = 4 \ cdot (-1) [/ math] es un mod cuadrado [math] p ^ { \ prime} [/ math]. Se deduce que tanto [math] p [/ math] como [math] p ^ {\ prime} [/ math] son ​​(primos) de la forma [math] 4k + 1 [/ math].

Ahora si [math] p ^ 2 + 4 [/ math] es primo , entonces [math] p ^ {\ prime} = p ^ 2 + 4, [/ math] por la segunda condición de divisibilidad de eqn. [matemáticas] (\ estrella) [/ matemáticas]. La primera condición de divisibilidad se reduce a [matemática] p \ mid (4 ^ 2 + 1) [/ matemática], forzando [matemática] p = 17 [/ matemática]. Como [math] 17 ^ 2 + 4 = 293 [/ math] es [math] prime [/ math], ¡tenemos un contraejemplo !

[matemáticas] p = 17, q = 2p ^ {\ prime} = 2 \ cdot 293, r = 2, s = pp ^ {\ prime} = 17 \ cdot 293. \ blacksquare [/ math]

Answer 2

No. Por ejemplo, [matemáticas] (p, q, r, s) = (145,34,2,2465) [/ matemáticas] satisface las condiciones del problema.