Depende mucho de tu objetivo. Básicamente, no se requiere demasiado: creo que un curso básico de análisis es suficiente, el análisis complejo es muy útil pero no es necesario para lo básico (incluso, por ejemplo, el teorema de Dirichlet sobre los números primos en progresiones aritméticas se puede entender sin un análisis complejo ) Doy algunas recomendaciones sobre cómo comenzar a estudiar teoría de números.
Sugeriría comenzar con una teoría básica de números de olimpiadas: conozca la divisibilidad, los números primos y el teorema fundamental del álgebra, las congruencias, quizás los residuos cuadráticos, …
Entonces comenzaría con funciones aritméticas y técnicas elementales, como las estimaciones de Chebyshev o el postulado de Bertrand. No se necesita análisis aquí.
Luego hay algunos teoremas básicos sobre las funciones multiplicativas y la declaración del teorema de los números primos en términos de la función de Von Mangoldts. Aquí ya necesita saber sobre la notación Big Oh y algunos conceptos básicos sobre el límite, pero solo cosas muy básicas.
- ¿Cuál es el valor esperado del mínimo común múltiplo de [math] N [/ math] enteros elegidos uniformemente entre [math] [0, M] [/ math]?
- ¿Cómo se muestra que el supremum de un conjunto de enteros acotado es un entero en el conjunto?
- ¿Cómo se muestra que el conjunto de todos los enteros positivos mayores que [math] \ frac {y} {x} [/ math] no está vacío de forma rigurosa?
- ¿Cuál es la intuición detrás del algoritmo euclidiano extendido?
- ¿Qué método se usa para verificar la primalidad del número en la criptografía RSA?
Entonces puede continuar de muchas maneras dependiendo de lo que le gustaría saber: el teorema del número primo y las propiedades de la función zeta de Riemann requieren algún análisis, la serie Dirichlet, las funciones [matemáticas] L [/ matemáticas] y el teorema de Dirichlet requieren algunos, pero no mucho.
Definitivamente recomendaría el libro Introducción a la teoría analítica de números | Tom M. Apostol | Springer para un principiante con pocas experiencias en análisis.
Luego están estas notas de Andrew Granville Théorie analytique des nombres, Hiver 2007, pero creo que se requiere una comprensión intuitiva del análisis complejo; sin embargo, es genial para alguien que ya ha visto alguna teoría analítica de números antes.
También hay algunas notas de Terrence Tao 254A, Notas 1: Teoría elemental de números multiplicativos, aún no las había leído, creo que están muy bien escritas (como todo en el blog de Tao) pero son bastante extensas.
También hay una pequeña serie de videos de Ram Murty
Lo que me recuerda su libro Problemas en la teoría analítica de números | USR Murty | Springer, que está escrito como un libro de problemas donde no todo se le da al lector de inmediato. Es una excelente forma de aprender, pero requiere más tiempo y trabajo que solo leer otro libro.
Estoy seguro de que hay muchos otros libros o notas en línea que también son geniales.