¿Cómo se muestra que el conjunto de todos los enteros positivos mayores que [math] \ frac {y} {x} [/ math] no está vacío de forma rigurosa?

Answer 1

Esto depende completamente de cómo hayas definido los números reales.

Si va con la versión axiomática (el único campo completo, ordenado por arco de char 0), entonces está literalmente en los axiomas,

Con la mayoría de las otras definiciones se reduce a la propiedad correspondiente de los racionales.

Si define los reales como clases de equivalencia de secuencias de cauchy, por ejemplo (el enfoque que más he visto), esto se reduce a mostrar que cada secuencia de cauchy racional está limitada desde arriba por un número entero.

Dado que para algunos n todos los miembros de la secuencia serán menos de uno más la enésima entrada, es suficiente mostrar que un número finito de racionales está limitado por un número entero, que (por inducción) se reduce al caso de un número racional .

Esto se resuelve observando que [math] \ frac {p} {q} [/ math] siempre está limitado por p (para [math] p> 0, q \ ne 0 [/ math] y [math] p, q \ en N [/ matemáticas]

Answer 2

Siguiendo la idea de Anish, considere la función | -z – | que asigna a un número real z el menor entero mayor que z. Aplique eso a y / x para cualquier y / x. EDITAR. Si y / x es un número entero, considere el número entero y / x + 1.

Answer 3

Dado que [math] x> o [/ math], [math] y> y / x [/ math] y [math] int (y + 1 [/ math]) (aka [math] \ lfloor (y + 1 ) \ rfloor [/ math]) es un número entero mayor que [math] y / x [/ math]

Creo que lo que estás haciendo es exagerado.