A2A. Una vez que uno ya no es un estudiante, este hecho se considera lo suficientemente obvio como para citarlo. Supongo que puede ver fácilmente que es correcto (para conjuntos no vacíos). El hecho de que esté buscando demostrarlo significa que, en cierto sentido, está volviendo a desarrollar los cimientos del tema. Parte de la pregunta es, entonces, cuánto puede usar (como ya se ha demostrado). Esta necesidad de organizar los resultados básicos en un orden (que puede ser diferente para diferentes autores) hace que estas pruebas sean difíciles de una manera que las pruebas dejen de ser posteriores. Hay una obra, Principia Mathematica, que es famosa por una prueba extremadamente larga y pedante de que 1 + 1 = 2. Disculpe lo siguiente si parte de él es innecesariamente exigente para lo que está trabajando.
El hecho de que un conjunto limitado de enteros sea finito podría estar bien de usar ya. Si es así, puede ignorar el siguiente párrafo.
En algún momento se demuestra que los enteros no negativos corresponden a los números naturales (se pueden identificar con ellos) y satisfacen los axiomas de Peano (axiomas de Peano – Wikipedia). Un conjunto limitado de números naturales es un subconjunto de [math] {n: -N \ le n \ le N} [/ math] para un [math] N [/ math] enlazado, y este conjunto puede ser finito por inducción en [matemáticas] N [/ matemáticas]. porque [math] {n: – (N + 1) \ le n \ le N + 1} [/ math] es [math] {n: -N \ le n \ le N} [/ math] con dos elementos adicionales . Un subconjunto de un conjunto finito es finito. Dependiendo del nivel de detalle requerido, estos pasos pueden necesitar dividirse en pasos más elementales.
Sin embargo, es muy probable que esté trabajando en un contexto en el que no necesita hacer tal argumento.
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Un elemento máximo [math] U [/ math] de un conjunto ordenado es un supremum. Es un límite superior porque cada elemento es [math] \ le U [/ math]. Es un límite superior mínimo porque para cualquier otro límite superior [matemática] U ‘[/ matemática], el hecho de que [matemática] U [/ matemática] es un elemento y [matemática] U’ [/ matemática] es un límite superior implica [matemáticas] U ‘\ ge U [/ matemáticas]. Es probable que también puedas tomar esto como obvio.
El hecho de que en un conjunto ordenado finito no vacío haya un elemento máximo (un miembro del conjunto) es una prueba por inducción sobre el número de elementos del conjunto. Un conjunto vacío no tiene un máximo, pero excluimos ese caso. En un conjunto con un elemento, el elemento es el máximo. Si agregamos un elemento a un conjunto ordenado con un máximo, el nuevo máximo es el anterior o es el elemento que agregamos.