Sea [math] S [/ math] la suma de los primeros [math] 2015 [/ math] términos de la secuencia [math] 1,2,2,3,3,3 \ cdots n, n \ cdots n. [/ math], donde [math] n [/ math] ocurre [math] n [/ math] veces. Entonces, ¿cuál es el valor de [matemáticas] S [/ matemáticas]?

La secuencia es [matemática] 1, 2, 2, 3, 3, 3,… n ([/ matemática] [matemática] n [/ matemática] veces [matemática]) [/ matemática]. Necesitamos encontrar la suma de los primeros términos [matemáticos] 2015 [/ matemáticos].

Pero aquí, no sabemos exactamente si la secuencia culmina en [matemáticas] n [/ matemáticas] veces [matemáticas] n [/ matemáticas]. Entonces, tenemos que averiguarlo.

Mire esta serie: [matemática] 1 + 2 (2 [/ matemática] veces [matemática]) + 3 (3 [/ matemática] veces [matemática])… + n (n [/ matemática] veces [matemática]) [ /matemáticas]. Tiene términos de 2015 según la pregunta.

Entonces, [matemáticas] 1 + 2 + 3 +… + n = 2015 [/ matemáticas], podemos decir, lo que da [matemáticas] n = 62.98 ≈ 63 [/ matemáticas]

Si cruzamos la verificación [matemática] 63 (63 + 1) / 2 [/ matemática] da [matemática] 2016. [/ matemática] Esto significa que [matemática] 63 [/ matemática] ocurre uno menos que [matemática] 63 [/ matemática ] veces para que la secuencia tenga [matemáticas] 2015 [/ matemáticas] términos.

La secuencia ahora es [matemática] 1, 2, 2,…, 62 (62 [/ matemática] veces [matemática]), 63 (62 [/ matemática] veces).

La suma = [matemáticas] 1 + 2 ^ 2 +… + 62 ^ 2 + 63 * 62 [/ matemáticas]

= [matemáticas] 81375 + 3906 [/ matemáticas]

= [matemáticas] 85281 [/ matemáticas]

S es la suma de los primeros términos de 2015.

y la secuencia es

1+ 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 …… .n + n + n +… .. veces

es decir, 1² + 2² + 3² + 4² + …… ..n²

Entonces, lo primero que tenemos que encontrar es el valor de n.

Como notamos que en la secuencia dada,

si agregamos 1² + 2² eso significa que hemos agregado 3 términos

Si agregamos 1² + 2² + 3² eso significa que hemos agregado 6 términos

Necesitamos términos de 2015 … es decir, en ese caso, ¿cuál debería ser la base? O encuentra n en n²

Y esta n pertenece al conjunto de números naturales. Su valor no puede estar en decimal. (ya que el número de términos no puede estar en decimal)

Sn = n / 2 [2a + (n-1) d] = 2015 aquí a = 1, d = 1

=> n (2 + n-1) = 2015 * 2

=> n (n + 1) = 4030

=> n² + n – 4030 = 0, cuando resolvemos esta ecuación, considerando que n no puede contener el valor decimal. Su factorización será

(n -63) (n +64) OR (n -62) (n + 63)

Preferimos el primer conjunto como 63 * 64 = 4032 pero 62 * 63 = 3906. La diferencia es menor en el primer conjunto

Entonces n = 63, -64, se descarta el valor negativo.

Entonces, n = 63

Ahora, desde aquí, como notamos, ninguno de los términos = un valor decimal, que muestra que el último término 63 no se escribe 63 veces, sino que se escribe 62 veces solamente.

Entonces, en lugar de la secuencia

1² + 2² + 3² + 4² + …… .63² ……………… (1)

nuestra secuencia se convierte

1² + 2² + 3² + 4² + ………… 63 * 62 …………. (2)

Ahora para obtener la Suma S, de la suma de la …… (1), restamos solo un 63. Cuál debería ser la respuesta.

Como la fórmula de la suma en la secuencia

1² + 2² + 3² + 4² + ……… .n² =

= n (n + 1) (2n + 1) / 6

= 63 (63 + 1) (2 * 63 + 1) / 6

= 63 * 64 * 127/6

= 512064/6

Ahora de esto restamos un 63

= (512064/6) – 63

= 511686/6

= 85281 ………… ..ANS

Esta serie se puede simplificar a

1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 +… + n ^ 2

La respuesta a esto será n (n + 1) (2n + 1) / 6

La derivación de esta fórmula se puede encontrar en el libro de conciertos de std 11 en la sección de series especiales.

Antes de hacer esto, primero vemos que el número de términos en esta serie se puede encontrar por la fórmula n (n + 1) / 2 como el número de términos = 1 + 2 + 3 + …

Ahora vemos por esta fórmula que 70 se repite 70 veces y luego 71 se repite 30 veces en esta serie para hacer un total de 2015 términos.

Ahora la respuesta final a esta pregunta es

70 (70 + 1) (2 × 70 + 1) / 6 + 71 × 30

Que es igual a 118925

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