¿[Math] x ^ 2-kxy + y ^ 2 = -1 [/ math] tiene soluciones enteras solo cuando [math] k = 3 [/ math]? ¿Cómo pruebo esto?

Answer 1

Esto parece un buen ejercicio de algún concurso, así que no estoy seguro, si es correcto revelar una solución.

Te daré algunas pistas.

En primer lugar, obviamente, k = – 3 también es la solución. Si x, y, k es una solución, entonces x, -y, -k y -x, y, -k también son soluciones.

Además, restringiré esta pregunta a naturales (enteros no negativos) x, y, k. (Se puede demostrar fácilmente que se pueden derivar otras soluciones enteras de este caso).

La igualdad es simétrica en x, y, por lo que puedo suponer [matemáticas] x \ ge y [/ matemáticas].

Sugerencia 1: Si x = y, entonces solo hay una solución x = y = 1, k = 3.

A continuación supondré x> y.

Reescribiré la igualdad:

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + 1 = kxy [/ matemáticas]

x es divisor de [matemáticas] y ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

Sugerencia 2: Si [matemática] x = y ^ 2 + 1 [/ matemática] entonces k = 3, y = 1 o 2 yx = 2 o 5 respectivamente.

Sugerencia 3: Si [math] ax = y ^ 2 + 1 [/ math] para algunos a> 1 (a – natural), entonces y> a y (y, a, k) también es la solución para la ecuación y [math] ^ 2 + a ^ 2 + 1 = kya [/ matemáticas].

Como (x, y) es más grande que (y, a) (x> y e y> a) para cada solución existe una solución más pequeña (con la misma k). Como x es finito, en un número finito de pasos tenemos que llegar a la solución derivada en la Sugerencia 2. El número k permanece siempre igual, por lo que para cada solución k es igual, k = 3.

Answer 2

Basado en la sugerencia de Ege Erdil, aquí hay una prueba (sobre los enteros positivos, que es lo que pretendía pero no dije). Siguiendo el esquema del Arte de resolución de problemas

[matemática] x ^ 2 − kxy + y ^ 2 + 1 = 0 [/ matemática] puede verse como un elemento cuadrático en [matemática] x [/ matemática], por lo que según las fórmulas de Vieta debemos tener

[matemáticas] x + x ‘= ky [/ matemáticas]

[matemáticas] x x ‘= y ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

denotando la otra raíz por [math] x ‘[/ math].

Para una [matemática] k [/ matemática] fija, elija [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] con el valor más bajo de [matemática] \ min (x, y) [/ matemática] . Llame a este par [matemática] a, b [/ matemática] con [matemática] b \ leq a [/ matemática]. Entonces

[matemáticas] bx ‘\ leq ax’ = b ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] kb – a = x ‘

Esto nos dice que [math] x ‘[/ math] es un número entero (lado izquierdo) pero es menor o igual que [math] b [/ math] (lado derecho). Por minimidad de [math] b [/ math], ya sea [math] x ‘= b [/ math] o [math] x’ \ leq 0 [/ math].

[matemáticas] (a + 1) (x ‘+ 1) = ax’ + a + x ‘+ 1 = y ^ 2 – 1 + ky + 1 = (y + k) k \ geq 2 [/ matemáticas]

Entonces [math] x ‘+ 1 \ geq 1 [/ math], reduciendo las posibilidades a [math] x’ = b [/ math] o [math] x ‘= 0 [/ math].

Si [math] x ‘= 0 [/ math], entonces [math] b ^ 2 + 1 = 0 [/ math], que no tiene soluciones sobre los enteros.

Entonces [matemáticas] x ‘= b [/ matemáticas], dándonos

[matemáticas] b ^ 2 – kbb + b ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (2 – k) b ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (2-k) b ^ 2 = -1 [/ matemáticas]

Las únicas soluciones enteras para las cuales son [matemáticas] b = \ pm 1 [/ matemáticas], [matemáticas] k = 3 [/ matemáticas].

Answer 3

Debido a la simetría, si [matemática] x = a [/ matemática], [matemática] y = b [/ matemática] es una solución, entonces también lo es [matemática] x = b [/ matemática] y [matemática] y = a [ /matemáticas].

Por un lado, [matemáticas] {a ^ 2} – aky + {y ^ 2} = – 1 [/ matemáticas] y por otro [matemáticas] {b ^ 2} – bky + {y ^ 2} = – 1 [ /matemáticas].

Igualando los dos [matemática] {a ^ 2} – {b ^ 2} + bky – aky = 0 [/ matemática] o [matemática] a = b [/ matemática]. o. [matemática] a + b + ky = 0 [/ matemática] que equivale a [matemática] a = b [/ matemática] o [matemática] k = \ frac {{a + b}} {b} [/ matemática].

Este último da [matemática] {b ^ 2} – ab + 1 = 0 [/ matemática] y debido a la simetría nuevamente, [matemática] {a ^ 2} – ab + 1 = 0 [/ matemática]. Los dos combinados dan [matemáticas] a = b [/ matemáticas] o [matemáticas] a = -b [/ matemáticas]

Si [matemática] a = b [/ matemática] entonces [matemática] (2 – k) {a ^ 2} = – 1 \ Rightarrow k = 3 [/ matemática].

Si [math] a = -b [/ math] entonces [math] (2 + k) {a ^ 2} = – 1 \ Rightarrow k = – 3 [/ math].

Answer 4

Contraejemplo: la ecuación se cumple para x = -1, y = 1, k = -3