Cómo mostrar que si ab congurante a 1 (mod p) entonces (a \ p) = (b \ p)

Answer 1

Si [math] ab \ equiv 1 \ pmod {p} [/ math] entonces [math] p [/ math] no divide [math] a [/ math] o [math] b [/ math] entonces tampoco [math ] \ left (\ frac {a} {p} \ right) [/ math] ni [math] \ left (\ frac {b} {p} \ right) [/ math] es 0, entonces cada uno es 1 o – 1)

Si suponemos [matemática] \ left (\ frac {a} {p} \ right) \ neq \ left (\ frac {b} {p} \ right) [/ math] entonces uno de [math] a, b [ / math] es un residuo cuadrático mientras que el otro no lo es. Suponga que [matemática] a [/ matemática] es el residuo cuadrático. Entonces hay un número [matemática] x [/ matemática] tal que [matemática] x ^ 2 \ equiv a \ pmod {p} [/ matemática]. Como [math] p [/ math] no divide [math] x [/ math] entonces [math] x [/ math] tiene un inverso multiplicativo [math] n [/ math] tal que [math] xn \ equiv 1 \ pmod {p} [/ math]. Eso significa [matemáticas] (xn) ^ 2 \ equiv 1 \ pmod {p} [/ matemáticas].

Entonces [matemáticas] x ^ 2 n ^ 2 \ equiv 1 \ equiv ab \ equiv x ^ 2 b \ pmod {p} [/ matemáticas].

Como [math] p [/ math] divide [math] x ^ 2 n ^ 2 – x ^ 2 b [/ math] divide [math] n ^ 2 – b [/ math]. Entonces [math] n ^ 2 \ equiv b \ pmod {p} [/ math], haciendo que [math] b [/ math] también sea un residuo cuadrático, contrario a la suposición.

Entonces [matemáticas] \ left (\ frac {a} {p} \ right) = \ left (\ frac {b} {p} \ right) [/ math]

Answer 2

Para números primos impares [math] p [/ math], el símbolo de Legendre [math] \ left (\ frac {a} {p} \ right) [/ math] se define de la siguiente manera:

[matemáticas] 0 [/ matemáticas] si [matemáticas] p \ mid a; [/matemáticas]

[matemática] +1 [/ matemática] si [matemática] p \ nmid a, x ^ 2 \ equiv a \ pmod {p} [/ matemática] tiene una solución [matemática]; [/matemáticas]

[matemática] -1 [/ matemática] si [matemática] p \ nmid a, [/ matemática] [matemática] x ^ 2 \ equiv a \ pmod {p} [/ matemática] no tiene solución [matemática]. [/matemáticas]

De la definición del símbolo Legendre queda claro que

[matemáticas] \ left (\ frac {a} {p} \ right) = \ left (\ frac {b} {p} \ right) [/ math] if [math] a \ equiv b \ pmod {p} [ /matemáticas]. … ([Matemáticas] \ estrella [/ matemáticas])

Está menos claro que

[matemática] \ left (\ frac {a} {p} \ right) \ equiv a ^ {(p-1) / 2} \ pmod {p} [/ math]. … ([Matemáticas] \ estrella \ estrella [/ matemáticas])

De la ec. ([math] \ star \ star [/ math]) se deduce que

[matemáticas] \ left (\ frac {ab} {p} \ right) = \ left (\ frac {a} {p} \ right) \ left (\ frac {a} {p} \ right) [/ math] .

Entonces, si [math] ab \ equiv 1 \ pmod {p} [/ math], eqns. ([math] \ star [/ math]) y ([math] \ star \ star [/ math]) dan

[matemáticas] 1 = \ left (\ frac {1} {p} \ right) = \ left (\ frac {ab} {p} \ right) = \ left (\ frac {a} {p} \ right) \ left (\ frac {a} {p} \ right) [/ math].

Por lo tanto, cada uno de [math] \ left (\ frac {a} {p} \ right) [/ math], [math] \ left (\ frac {a} {p} \ right) [/ math] debe ser igual a [math ] +1 [/ matemáticas] o [matemáticas] -1 [/ matemáticas].