Además de agregar el primo [matemático] p = 2 [/ matemático] a la respuesta de Marco Vona, también intentaré explicar por qué. Mucho, si no todo, de esto se puede encontrar en publicaciones anteriores mías.
La pregunta pide condiciones bajo las cuales un primo [math] p [/ math] tiene la propiedad de que [math] p \ mid (b ^ 2 + 1) [/ math] para algunos [math] b \ in \ mathbb N [ / matemática], [matemática] b <p [/ matemática]. Tenga en cuenta que dado que [math] b \ equiv b ^ {\ prime} \ pmod {p} [/ math] implica [math] b ^ 2 \ equiv \ big (b ^ {\ prime} \ big) ^ 2 \ pmod { p} [/ math], siempre podemos suponer [math] x \ in \ {0,1,2, \ ldots, p-1 \} [/ math] al buscar soluciones a la congruencia [math] x ^ 2 \ equiv -1 \ pmod {p} [/ math]. Y podemos descartar [math] x = 0 [/ math] ya que [math] p \ nmid 1 [/ math].
Asumiré el famoso teorema de Fermat de que cada primo de la forma [matemática] 4k + 1 [/ matemática] puede expresarse como una suma de dos cuadrados enteros: [matemática] p = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemática ] Además, esta expresión es única hasta el signo y el orden, es decir, [matemática] p = a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 + d ^ 2 [/ matemática] y [matemática] a> b> 0 [/ matemática ] y [matemática] c> d> 0 [/ matemática] implica [matemática] a = c [/ matemática] y [matemática] b = d [/ matemática].
El caso [matemática] p = 2 [/ matemática] no está cubierto por el teorema anterior, pero es fácil ver que [matemática] 2 \ mid (1 ^ 2 + 1) [/ matemática]. Entonces [math] p = 2 [/ math] cuenta.
- Cómo usar la programación dinámica para contar las formas en que podemos escribir un entero dado como una suma ordenada de enteros pequeños
- ¿[Math] x ^ 2-kxy + y ^ 2 = -1 [/ math] tiene soluciones enteras solo cuando [math] k = 3 [/ math]? ¿Cómo pruebo esto?
- Sea [math] S [/ math] la suma de los primeros [math] 2015 [/ math] términos de la secuencia [math] 1,2,2,3,3,3 \ cdots n, n \ cdots n. [/ math], donde [math] n [/ math] ocurre [math] n [/ math] veces. Entonces, ¿cuál es el valor de [matemáticas] S [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es el resto de [matemáticas] (75 ^ {80}) / 7? [/ Matemáticas]
- ¿Qué trasfondo se necesita para estudiar la teoría de números analíticos?
Suponga que [math] p [/ math] es un primo de la forma [math] 4k + 1 [/ math]. Entonces existen enteros positivos [matemática] a, b [/ matemática] tal que [matemática] p = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemática]. Tenga en cuenta que [math] 1 \ le a <p [/ math], y así [math] \ gcd (a, p) = 1 [/ math]. Elija enteros [matemática] r, s [/ matemática] tal que [matemática] ar + ps = \ gcd (a, p) = 1 [/ matemática]. Entonces
[matemáticas] p \ mid r ^ 2 (a ^ 2 + b ^ 2) = \ big ((ar) ^ 2 + (br) ^ 2 \ big) [/ math],
y como [math] ar = 1-ps [/ math], [math] p [/ math] también divide [math] 1+ (br) ^ 2 [/ math]. Así, los primos de la forma [matemática] 4k + 1 [/ matemática] satisfacen esta condición.
Ahora suponga que [math] q [/ math] es un primo de la forma [math] 4k + 3 [/ math]. Recuerde que [math] (m + n) \ mid (m ^ k + n ^ k) [/ math] siempre que [math] m, n \ in \ mathbb N [/ math] y [math] k [/ math] es cualquier entero impar positivo . Entonces, si [matemática] b [/ matemática] satisface [matemática] p \ mid (b ^ 2 + 1) [/ matemática], entonces [matemática] p \ mid \ big ((b ^ 2) ^ {(q-1 ) / 2} +1 \ big) = \ big (b ^ {q-1} +1 \ big) [/ math]. Pero [math] p \ mid \ big (b ^ {q-1} -1 \ big) [/ math] por el teorema de Fermat [math] “[/ math] little [math]” [/ math] , ya que [math ] \ gcd (b, q) = 1 [/ matemática]. Ahora, ya que tanto [math] b ^ {q-1} +1 [/ math] como [math] b ^ {q-1} -1 [/ math] son múltiplos de [math] q [/ math], también lo es su diferencia [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Y esta última declaración es falsa.
Concluimos que los únicos números primos [matemática] p [/ matemática] para los cuales existen enteros [matemática] b [/ matemática] que satisfacen [matemática] p \ mid (b ^ 2 + 1) [/ matemática] son [matemática] p = 2 [/ math] y primos de la forma [math] 4k + 1 [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]