¿Cuántos pares enteros positivos [matemática] (x, y) [/ matemática] con [matemática] x \ neq 1 [/ matemática] satisfacen [matemática] y ^ 2 = \ frac {x ^ 5-1} {x-1 }[/matemáticas]?

Answer 1

Aquí, presentaré el método de uso frecuente en las Olimpiadas conocido como el Método Sandwich. Se llama así por una razón que presentaré más adelante.

Tenga en cuenta que el problema es equivalente a encontrar soluciones enteras para [matemáticas] 4 [/ matemáticas] [matemáticas] y ^ 2 = 4x ^ 4 + 4x ^ 3 + 4x ^ 2 + 4x + 4 [/ matemáticas]

Ahora proceda a observar que si [matemáticas] x> 3 [/ matemáticas], podemos encontrar [matemáticas] (2x ^ 2 + x) ^ 2 = 4x ^ 4 + 4x ^ 3 + x ^ 2 <4x ^ 4 + 4x ^ 3 + 4x ^ 2 + 4x + 4 = (2y) ^ 2 <4x ^ 4 + 4x ^ 3 + 5x ^ 2 + 2x + 1 = (2x ^ 2 + x + 1) ^ 2 [/ matemática]

Dado que [matemática] 4x ^ 4 + 4x ^ 3 + 4x ^ 2 + 4x + 4 [/ matemática] está atascada (¡o emparedada!) Entre cuadrados de dos números consecutivos, no puede ser un cuadrado en sí mismo, lo cual es una contradicción. Por eso se le llama el “Método Sandwich”.

Por lo tanto, tenemos que si [math] x [/ math] es un número entero positivo, debe ser menor o igual que [math] 3 [/ math]. Prueba y error nos da [matemáticas] x = 3, y = 11 [/ matemáticas] es una solución válida.

Answer 2

y² = (x ^ 5–1) 🙁 x-1) = x ^ 4 + x³ + x² + x + 1 + 2 / (x-1)

y²- (x ^ 4 + x³ + x² + x + 1) = 2 / (x-1)

y, x y 1 son todos enteros positivos, por lo que 2 / (x-1) también tiene que ser un entero.

x tiene que ser> = 1 (enteros positivos)

para x = 1, porque el denominador sería 0

para x = 2, el RHS se evalúa como 31, que no es un número cuadrado

para x = 3, el RHX se evalúa como 121 = 11²

para x> 3 0 <2 / (x-1) <1, por lo que no sería un número entero

-> (3,11) es la única solución.

Answer 3

Prueba y error muestra que x = 3 e y = 11 es la solución requerida.