¿Por qué el teorema fundamental del álgebra funciona en la teoría de números?

Answer 1

Primero, saquemos algunas cosas obvias del camino.

Ciertamente, no es cierto que si elige un polinomio arbitrario [matemática] Q (x) [/ matemática], entonces [matemática] Q (x) \ equiv 0 \ mod p [/ matemática] tiene una solución, mucho menos muchas soluciones (contadas con multiplicidad) como el grado de [matemáticas] Q [/ matemáticas]. Por ejemplo, para cualquier primo impar [matemática] p [/ matemática], solo [matemática] \ frac {p – 1} {2} [/ matemática] los elementos distintos de cero pueden ser cuadrados mod [matemática] p [/ matemática] (para ver esto, tenga en cuenta que la cuadratura es un mapa 2-1).

Por otro lado, es cierto que dado un polinomio arbitrario [matemática] Q (x) [/ matemática] de grado [matemática] k [/ matemática], puede haber a lo sumo soluciones [matemática] k [/ matemática] a [matemática] Q (x) = 0 \ mod p [/ matemática]. Esto es una consecuencia del hecho de que [math] \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} [/ math] es un dominio integral (es decir, no hay soluciones distintas de cero para [math] xy = 0 \ mod p [/ math]).

Finalmente, es cierto que para el caso muy especial que [matemática] Q (x) = x ^ k [/ matemática], donde [matemática] k [/ matemática] divide [matemática] p – 1 [/ matemática], entonces hay soluciones [matemáticas] k [/ matemáticas].

Si tomamos [math] k = p – 1 [/ math], esto se conoce mejor como el pequeño teorema de Fermat, que más comúnmente se dice que [math] x ^ p = x [/ math] para todos [math] x \ mod p [/ math]. (Por cierto, el mapa [math] x \ mapsto x ^ p [/ math] es tan importante que recibe su propio nombre: se llama endomorfismo de Frobenius). Hay muchas pruebas del pequeño teorema de Fermat. Soy parcial al enfoque teórico grupal, personalmente.

Según el pequeño teorema de Fermat, es bastante fácil ver que [matemática] x ^ k = 1 [/ matemática] debe tener soluciones [matemática] k [/ matemática] si [matemática] k [/ matemática] divide [matemática] p – 1 [/ matemáticas].

De hecho, escriba [matemáticas] p – 1 = kr [/ matemáticas]. Entonces

[matemáticas] x ^ {p – 1} = \ izquierda (x ^ r \ derecha) ^ k = 1 \ mod p [/ matemáticas],

por lo tanto, si tomamos cualquier solución de [matemáticas] x ^ {p – 1} = 1 \ mod p [/ matemáticas] y la elevamos a la potencia [matemáticas] r [/ matemáticas], obtendremos una solución para [ matemáticas] x ^ k = 1 \ mod p [/ matemáticas]. Dado que subir al poder [matemático] r [/ matemático] es un mapa [matemático] r [/ matemático] a 1, hemos terminado.

Answer 2

Hmm Una gran cantidad de teoría es sobre la teoría de ecuaciones y la teoría de números, ambas son esenciales e interdependientes. Para comprender esto, estudie la cita y las fuentes a continuación.

“El teorema fundamental del álgebra es un teorema sobre la resolución de ecuaciones. Establece que cada ecuación polinómica sobre el campo de números complejos de grado superior a 1 tiene una solución compleja. Las ecuaciones polinómicas tienen la forma … “- Teorema fundamental del álgebra .

Enlace de referencia: Números mágicos: ¿pueden ser hermosas las ecuaciones matemáticas?

Answer 3

No [math] \ mathbb {F} _p [/ math] siempre es un campo pero no su propio cierre algebraico.

Entonces puede encontrar polinomios en [math] \ mathbb {F} _p [x] [/ math] que no tienen soluciones en [math] \ mathbb {F} _p [/ math]

La razón de esto no es el teorema fundamental del álgebra.