[matemáticas] 3n + 81 [/ matemáticas] es un cuadrado, para algún número entero positivo n.
[matemáticas] 3n + 81 [/ matemáticas] = [matemáticas] 3 (n + 27) [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto.
Como 3 divide el número, 9 divide el número ya que es un cuadrado perfecto. Por lo tanto, como 3 divide 27, 3 divide n. Entonces, dejemos [matemáticas] n = 3k [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 (3k + 27) [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto si
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[matemáticas] 9 (k + 9) [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto si
[matemáticas] (k + 9) [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto.
Hay infinitos enteros positivos que satisfacen.
Una solución general es [matemáticas] k = x ^ 2 -9 [/ matemáticas] para cualquier número entero x mayor que 3 (ya que n tiene que ser positivo y el primer número cuyo cuadrado es mayor que 9 es 4).
La k más pequeña para satisfacer esto es, por lo tanto, = [matemática] 4 ^ 2–9 = 7 [/ matemática] y la n más pequeña para satisfacer es [matemática] 3 * 7 = 21 [/ matemática]
En general, n es de la forma,
[matemáticas] n = 3 * (x ^ 2–9) [/ matemáticas], donde x es un número entero mayor que 3.