Cómo resolver: [matemática] 25x – 108y = 1 [/ matemática] con [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] enteros

Answer 1

Reorganizar la ecuación como 25x = 1 + 108y

Para que x e y sean enteros,

(1 + 108y) debe ser un múltiplo de 25

108y debe ser un número que termine en (0 o 5) menos 1 ya que los múltiplos de 25 terminan con 0 o 5

(0–1) no tiene sentido, por lo que debe ser (5–1) o 4

Para que 108y termine en 4, y tiene que ser 3,13,23,33 …… o 8,18,28,38,48, ……

Cuando y = 3, x = {1+ (3 × 108)} ÷ 25 = 325/25 = 65/5 = 13 Ok

Cuando y = 8 x = {1+ (108 × 8) / 25} = 865/25 = 173/5, KO, NO ES UN INTEGER

cuando y = 28, x = 1 + 108 * 28/25 = 3025/25 = 605/5 = 141 …… OK

cuando y = 38, x = 1 + 108 * 38/25 = 4105/25 = 821/5 …… KO

CUANDO y = 10k + 8, x = (1+ (10k + 8) = (33 + 10k) / 25, 33 + 10k = 25m o 25 + 8 + 10k = 25m, o

8 + 10k = 25n o 25n – 10k = 8

SO la solución (y, x) es (3,13), (28,141,), ………

Answer 2

Es importante jugar con los números para obtener una idea general de cómo funcionan las cosas. Para facilitar el violín, reescribe la expresión de la siguiente manera.

[matemáticas] 25x – 108y = 1 \ Rightarrow x = \ frac {{108y + 1}} {{25}} = \ frac {{100y + 8y + 1}} {{25}} = 4y + \ frac {{ 8y + 1}} {{25}} [/ matemáticas]

Entonces jugamos con la fracción. 25 debe dividir [matemática] 8y + 1 [/ matemática], los primeros valores [matemática] 3 [/ matemática] de y positivo que funcionan son [matemática] 3 [/ matemática], [matemática] 28 [/ matemática] y [ matemáticas] 53 [/ matemáticas]. El patrón que ves es que las y aumentan en 25 cada vez. ¿Son los mismos 25 que en la pregunta? ¡Creo que sí!

Porque es divertido, demostremos que cada paso de [math] 25 [/ math] lleva a otro que funciona. Esta es una progresión aritmética con término general [matemática] 3 + 25t. [/ Matemática] La verificación es simple.

[matemática] \ frac {{8 (25t + 3) + 1}} {{25}} = \ frac {{8 \ veces 25t + 25}} {{25}} = 8t + 1 [/ matemática].

¡Funciona! Entonces, la solución general para [matemática] y [/ matemática] es [matemática] y = 25t + 3 [/ matemática].

Pero, ¿qué pasa con [matemáticas] x [/ matemáticas]?

[matemáticas] x = 4y + \ frac {{8y + 1}} {{25}} = 108t + 13 [/ matemáticas].

Me pregunto si ese es el 108 de la pregunta. ¡Creo que sí!.

Answer 3

La forma más simple es mediante el uso del algoritmo euclidiano para encontrar el máximo divisor común. (Tenga en cuenta que 25 y 108 son relativamente primos, por lo que su MCD es igual a 1).

Primero, comenzamos con 108 y 25. Dividimos 108 por 25, lo que nos da un cociente de 4 y un resto de 8. Esto significa que podemos escribir [matemáticas] 8 = 108 – 4 \ cdot25 [/ matemáticas].

Ahora, tenemos 25 y 8. Dividir 25 entre 8 nos da un cociente de 3 y un resto de 1. Podemos escribir [matemáticas] 1 = 25 – 3 \ cdot8 [/ matemáticas].

Ahora. la combinación de ambos resultados nos da: [matemática] 1 = 25 – 3 \ cdot (108 – 4 \ cdot 25) = 13 \ cdot 25 – 3 \ cdot 108 [/ math].

Answer 4

Esta es una ecuación lineal de diofantina

Para las ecuaciones de la forma, [math] ax + by = c, [/ math] las soluciones, si existen, son de la forma

[matemáticas] x = x_1- \ dfrac {kb} {mcd (a, b)}, y = y_1 + \ dfrac {ka} {mcd (a, b)} [/ matemática]

donde [matemática] x_1 [/ matemática] y [matemática] y_1 [/ matemática] son solo un conjunto de soluciones del conjunto general de soluciones, obtenidas durante el Algoritmo euclidiano inverso, y [matemática] k \ in \ Z [/ matemática ]

Requerimos [math] mcd (25,108) [/ math]

Usando Algoritmo Euclidiano

[matemáticas] 108 = 4 \ por 25 + \ en caja {8} [/ matemáticas]

[matemáticas] 25 = 8 \ veces 3 + \ en caja {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica mcd (25,108) = 1 [/ matemáticas]

Como [math] mcd (25,108) \ mid 1 [/ math], por lo tanto, esta ecuación tiene infinitas soluciones.

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Ahora, usamos [math] gcd [/ math] y trabajamos al revés

[matemáticas] 1 = 25–8 \ veces 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1 = 25–3 (108–4 \ veces 25) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1 = (13) \ veces (25) + (3) \ veces (-108) [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] (x_1, y_1) = (13,3) [/ matemáticas]

Y la solución general viene dada por

[matemáticas] x = 13- \ dfrac {k (-108)} {1} = 13 + 108k [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 3 + \ dfrac {k (25)} {1} = 3 + 25k [/ matemáticas]

donde [matemáticas] k \ in \ Z [/ matemáticas]

Answer 5

Primero, (13,3) es una solución obvia. De manera más general, puede encontrar una solución utilizando Euclidean Division.

Primero, sabemos que 25 * 13–108 * 3 = 1, y estamos buscando enteros (x, y) tales que:

25 * x-108 * y = 25 * 13–108 * 3

entonces

25 * (x-13) = 108 * (y-3)

Entonces 25 divide 108 * (y-3), según el Lema de Gauss, 25 divide (y-3), luego y-3 = 25 * k donde k es un número entero.

También tenemos que 25 * x = 108y + 1, luego 25 * x = 108 * (25 * k + 3) + 1 = 25 * 108 * k + 325, entonces x = 108 * k + 13.

Answer 6

25x = 1 + 108 años

x = (1 + 108y / 25)

25 (1 + 108y / 25) -108y = 1

1 = 1

entonces x = (1 + 108y / 25) podría ser una respuesta o podría resolver el valor y.