Si está pidiendo soluciones infinitas para todos los enteros, entonces esto es muy fácil de ver: simplemente establezca [math] a_2 = a_3 = \ ldots = 0 [/ math] y [math] a_1 = b [/ math].
Lo más probable es que se pregunte si hay infinitas soluciones sobre los enteros positivos. Este problema está completamente abierto, e incluso podría ser inútil con el conocimiento moderno.
Es casi seguro que hay infinitas soluciones si [matemática] n = 4,5 [/ matemática]. Noam Elkies demostró que en esos casos puedes construir infinitamente muchas soluciones para [matemática] \ sum_ {k = 1} ^ {n – 1} a_k ^ n = b ^ n [/ math], y supongo que puedes alterar su construcción de alguna manera para hacerlo con [math] n [/ math], en lugar de [math] n – 1 [/ math]. Sin embargo, la construcción de Elkies no es trivial: utilizó curvas elípticas para construir estos ejemplos.
Por otro lado, para [math] n \ geq 6 [/ math], no sabemos si hay alguna solución a la ecuación que ha dado, y mucho menos infinitas.
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Dicho esto, heurísticamente, probablemente deberías esperar que sea posible. Aquí es por qué. Hay aproximadamente [matemática] X ^ {1 / n} [/ matemática] [matemática] n [/ matemática] -th poderes menores que [matemática] X [/ matemática]. Esto significa que hay aproximadamente [matemática] \ izquierda (X ^ {1 / n} \ derecha) ^ n = X [/ matemática] sumas diferentes de [matemática] n [/ matemática] -th potencias menores que [matemática] X [/matemáticas]. También consideramos restar por [matemáticas] b ^ n [/ matemáticas], lo que nos da [matemáticas] X \ cdot X ^ {1 / n} = X ^ {1 + 1 / n} [/ matemáticas] combinaciones [matemáticas] a_1 ^ n + \ ldots + a_n ^ n – b_n ^ n [/ math], todos los cuales están entre [math] -nX [/ math] y [math] nX [/ math].
Si [math] X [/ math] es muy grande, entonces [math] 2nX [/ math] es mucho menor que [math] X ^ {1 + 1 / n} [/ math]. Siempre y cuando estas combinaciones no tiendan a agruparse demasiado, debe esperar que todos los enteros entre [math] -nX [/ math] y [math] nX [/ math] estén cubiertos, en particular, [math] 0 [/ math] debería ser, lo que corresponde a una solución.
Sin embargo, probar esto realmente va mucho más allá de lo que esperaría que fuera posible actualmente. Sin embargo, me encantaría estar sorprendido.