Este es el OP. Aquí estaba mi solución personal.
Tenga en cuenta que si [math] p \ equiv 3 \ pmod 8 [/ math] y [math] p [/ math] es primo, podemos usar la reciprocidad cuadrática para demostrar que [matemática] \ left (\ frac {2} {p} \ right) = – 1 [/ math] donde [math] \ left (\ frac {p} {q} \ right) [/ math] es El símbolo Legendre.
¡Ahora, tenga en cuenta que según el Teorema de Wilson tenemos esa [matemática] (p-1)! \ equiv -1 \ pmod p [/ math]. De ello se deduce que [matemáticas] (p-2)! \ equiv 1 \ pmod p [/ math]. Ahora, suponga que [matemáticas] (p-2)! + 1 [/ matemáticas] es un número cuadrado, digamos [matemáticas] m ^ 2 [/ matemáticas]. Luego se deduce que [matemáticas] m ^ 2 \ equiv 2 \ pmod p [/ matemáticas]. Sin embargo, dado que [math] 2 [/ math] es un residuo no cuadrático [math] \ text {mod} p [/ math], sigue una contradicción.
Entonces, para todos los primos [math] p \ equiv 3 \ pmod 8 [/ math], [math] (p-2)! + 1 [/ math] no es un cuadrado.
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Al examinar los factores de [matemáticas] x ^ 2 + 2 [/ matemáticas], podemos demostrar fácilmente que hay números primos infinitos que son [matemáticas] 3 \ pmod 8 [/ matemáticas]. Por lo tanto, tenemos que hay infinitas [matemáticas] n [/ matemáticas] que [matemáticas] n! +1 [/ matemáticas] no es un cuadrado.
Esto se inspiró en una pregunta que había publicado aquí.