¿Cómo probarías que hay infinitas [matemáticas] n [/ matemáticas] de modo que [matemáticas] n! +1 [/ matemáticas] no es un cuadrado?

Este es el OP. Aquí estaba mi solución personal.

Tenga en cuenta que si [math] p \ equiv 3 \ pmod 8 [/ math] y [math] p [/ math] es primo, podemos usar la reciprocidad cuadrática para demostrar que [matemática] \ left (\ frac {2} {p} \ right) = – 1 [/ math] donde [math] \ left (\ frac {p} {q} \ right) [/ math] es El símbolo Legendre.

¡Ahora, tenga en cuenta que según el Teorema de Wilson tenemos esa [matemática] (p-1)! \ equiv -1 \ pmod p [/ math]. De ello se deduce que [matemáticas] (p-2)! \ equiv 1 \ pmod p [/ math]. Ahora, suponga que [matemáticas] (p-2)! + 1 [/ matemáticas] es un número cuadrado, digamos [matemáticas] m ^ 2 [/ matemáticas]. Luego se deduce que [matemáticas] m ^ 2 \ equiv 2 \ pmod p [/ matemáticas]. Sin embargo, dado que [math] 2 [/ math] es un residuo no cuadrático [math] \ text {mod} p [/ math], sigue una contradicción.

Entonces, para todos los primos [math] p \ equiv 3 \ pmod 8 [/ math], [math] (p-2)! + 1 [/ math] no es un cuadrado.

Al examinar los factores de [matemáticas] x ^ 2 + 2 [/ matemáticas], podemos demostrar fácilmente que hay números primos infinitos que son [matemáticas] 3 \ pmod 8 [/ matemáticas]. Por lo tanto, tenemos que hay infinitas [matemáticas] n [/ matemáticas] que [matemáticas] n! +1 [/ matemáticas] no es un cuadrado.

Esto se inspiró en una pregunta que había publicado aquí.

Aquí hay una solución más elemental que la propuesta en su respuesta (nota: no es mía, el crédito va para Guy K.)

Elija un número entero [math] k> 1 [/ math] y deje que [math] n = k ^ 2-1 [/ math]. Mostraremos que al menos uno de [math] n! +1 [/ math] y [math] (n + 1)! + 1 [/ math] no puede ser un cuadrado.

De hecho, si [matemáticas] n! + 1 = m ^ 2 [/ matemáticas] entonces

[matemáticas] (n + 1)! + 1 = (n + 1) n! +1 = k ^ 2n! +1 = k ^ 2 (m ^ 2-1) +1 = (km) ^ 2-n [ /matemáticas]

Ahora, claramente [matemáticas] n! +1> n + 1 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] m> k [/ matemáticas] y [matemáticas] mk> k ^ 2 [/ matemáticas]. Resulta que

[matemáticas] (km-1) ^ 2 = (km) ^ 2-2km + 1 <(km) ^ 2-n [/ matemáticas]

Entonces, finalmente, el número [matemática] (n + 1)! + 1 = (km) ^ 2-n [/ matemática] se encuentra estrictamente entre los cuadrados perfectos consecutivos [matemática] (km-1) ^ 2 [/ matemática] y [matemáticas] (km) ^ 2 [/ matemáticas], por lo que no puede ser un cuadrado perfecto.