Bien, antes de abordar la pregunta, hagamos algunos preliminares. Primero, ¡descubramos el máximo exponente de 7 en 500! , ahora esto no es más que [500/7] + [500/49] + [500/343] donde [] es el mayor entero menor que la función. La lógica detrás de esto es que primero descubrimos todos los múltiplos de 7, luego para números como 49,98,147 … que contienen un doble exponente de 7, encontramos los múltiplos de 49 y los sumamos a nuestra cuenta, y así hasta nuestro poder de 7 se hace mayor que el numerador. Encontramos después del cálculo que 500! Está completamente dividido por 7 ^ 82. Del mismo modo 1000! Está completamente dividido por 7 ^ 164.
Ahora llegando a la suma. 1000C500 es 1000! / (500! * 500!)
Que es (1000 * 999 * 998 … * 501) / (500!)
El denominador contiene 7 ^ 82. Si bien el numerador contiene 7 ^ (164–82), ¡esto se debe a los otros 500! ¡En el denominador se alejan 82 exponentes de 7, de los 164 exponentes originales de 7 en 1000 !. Como el numerador y el denominador contienen 7 ^ 82, y esa es la potencia máxima de 7 en ambos, se cancelan. Resultando en un número que no tiene ningún múltiplo de 7 en el numerador. Por lo tanto, al dividir esto más entre 7 siempre obtenemos un resto distinto de cero.
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