¿El MRB es constante racional?

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Probablemente sea irracional. Los números generalmente son irracionales cuando no hay una razón evidente para que sean racionales. Que es una suma de una serie con términos irracionales realmente no hace ninguna diferencia aquí; Una serie similar con números racionales usualmente se telescopía perfectamente o converge en algo irracional. Por lo general, es difícil demostrar que un número es irracional, a menos que sea uno de los tipos en los que conocemos una buena forma de saber (por ejemplo, números algebraicos). Cuando digo difícil, quiero decir que posiblemente sea más allá de lo que cualquiera puede probar, incluidos los expertos en él. “Es [rellene el espacio en blanco] irracional” es una cornucopia interminable de problemas extremadamente difíciles cuya respuesta es probable que permanezca, “probablemente”.

Tomemos por ejemplo [math] e + \ pi [/ math]. Es relativamente fácil demostrar que [math] e [/ math] es irracional, y después de un poco de esfuerzo algunas pruebas relativamente manejables de que [math] \ pi [/ math] es irracional. Sin embargo, lo último que comprobé no era una prueba de que [matemáticas] e + \ pi [/ matemáticas] es irracional, y tampoco estoy aguantando la respiración. Las pruebas de que [matemática] e [/ matemática] y [matemática] \ pi [/ matemática] son, por separado, más o menos irracionales, tratan aproximaciones a ellas, pero no de una manera que le dé una idea de cómo trabajar con la suma. (La suma de los dos parece realmente arbitraria para alguien con experiencia; ¿por qué los agregarías de todos modos? Parece inventado). Pero cuando no hay ninguna razón para esperar que sea racional (y no la hay), es casi una certeza de que es irracional.

Hay una prueba de que [matemáticas] 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 +… [/ matemáticas] donde los denominadores son los cubos perfectos, es irracional, pero es difícil. Las series similares que involucran poderes pares como [math] 1 + 1/4 + 1/9 +… = \ pi ^ 2/6 [/ math] están relacionadas con [math] \ pi [/ math] pero las que están como [math ] 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 +… [/ math] con poderes extraños parecen no serlo. Si como matemático uno mirara esto, sin saber la respuesta, primero podría tratar de encontrar una forma cerrada para él, ver si por suerte resultó exactamente igual a un racional o algo más que uno sabía. Se preguntó si sería un número racional veces [math] \ pi ^ 3 [/ math] pero parece que no lo es. Entonces uno pensaría que probablemente es irracional pero difícil de mostrar. En el mundo real, se mantuvo como un problema sin resolver por un buen tiempo, y luego obtuvimos el teorema de Apéry: Wikipedia. Un verdadero logro! Nunca he leído la prueba pero he oído que es algo técnica; al menos la prueba original era.

Para la “constante MRB”, ya que parece que no muchas personas la han mirado, es posible que aún desee buscar un formulario cerrado (si lo desea). Sin embargo, la página de Wikipedia indica que no se conoce una forma cerrada, y es probable que tampoco tenga una, nuevamente porque no hay una razón aparente por la que la tenga. Sería como un golpe de suerte si lo hiciera.