¿Cada tentación de 3 además de [matemáticas] {} ^ 03 [/ matemáticas] y [matemáticas] {} ^ 13 [/ matemáticas] termina en un 7?

Answer 1

Primero, consideremos el último dígito de potencias de tres. [matemática] 3 ^ 0 = 1 [/ matemática], [matemática] 3 ^ 1 = 3 [/ matemática], [matemática] 3 ^ 2 = 9 [/ matemática], [matemática] 3 ^ 3 = 27 [/ matemática ], [matemáticas] 3 ^ 4 = 81 [/ matemáticas], [matemáticas] 3 ^ 5 = 243 [/ matemáticas], [matemáticas] 3 ^ 6 = 729 [/ matemáticas], [matemáticas] 3 ^ 7 = 2187 [ /matemáticas]. Mirando el último dígito, vemos el patrón 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7. Las potencias de tres terminan en 7 cuando el exponente es igual a 3, mod 4.

Una tetración lleva 3 a la potencia de una potencia de 3. ¿Cuándo es una potencia de tres igual a 3 mod 4? Es bastante fácil ver que esto es cierto cuando son elevados a un poder extraño. Entonces [math] {} ^ i = 3 ^ {3 ^ {{} ^ {i-2} 3}} [/ math] termina en 7 si [math] {} ^ {i-2} 3 [/ math ] es impar. Esto siempre es extraño para cualquier número entero [math] i \ ge 2 [/ math], ya que es solo una potencia de 3.

Por lo tanto, cada tentación de tres después de las dos primeras tiene un dígito de unidades de 7 porque todas son 3 elevadas a una potencia extraña de 3.

Answer 2

Si.

Intentaré centrarme en cómo encontrar una estrategia para resolver este problema.

Arreglemos la notación: definimos la tetración de modo que [matemática] ^ 13 = 3 [/ matemática], [matemática] ^ 23 = 3 ^ 3 = 27 [/ matemática], [matemática] ^ 33 = 3 ^ {3 ^ 3} = 3 ^ {27} [/ matemáticas], y en general [matemáticas] ^ {(n + 1)} 3: = 3 ^ {(^ {n} 3)} [/ matemáticas].

Queremos analizar el último dígito de las tetraciones de 3. Cuando nos enfrentamos a un problema difícil, una idea general es ver si podemos estudiar y resolver un problema más simple y relacionado, y luego tratar de usar nuestro conocimiento del problema más simple. para acercarse al complejo. En este caso, dado que la tetración es exponenciación iterada, una idea razonable es comenzar analizando el último dígito de potencias de 3. Entonces, comencemos tratando de resolver lo siguiente

Subproblema 1: ¿ Cuándo es cierto que el último dígito de [matemáticas] 3 ^ n [/ matemáticas] es 7?

Después de resolver ese problema, intentaremos utilizar nuestra nueva información para, con suerte, resolver el problema original.

A menos que ya conozca una forma de resolver esto directamente, una buena idea para llegar a la solución de un problema como este es verificar los primeros casos, formar una conjetura y luego intentar probarlo. Después de probar los primeros números, conjeturamos (y no es difícil de probar) que el último dígito de potencias de 3 sigue el ciclo 3,9,7,1. Esto significa que el último dígito de [math] 3 ^ n [/ math] sigue un patrón de longitud cuatro, entonces, por ejemplo, [math] 3 ^ 0, 3 ^ 4, 3 ^ 8 [/ math], y en general [matemática] 3 ^ {4k} [/ matemática] terminará en 1. De manera similar, [matemática] 3 ^ 3, 3 ^ 7, 3 ^ {11}, [/ matemática] y en general [matemática] 3 ^ {4k + 3} [/ math] terminará en 7. Entonces,

Solución del problema 1: [matemática] 3 ^ n [/ matemática] termina con 7 siempre que n tenga la forma [matemática] 4k + 3 [/ matemática], o equivalente, cuando el resto de la división [matemática] n [/ matemática ] por cuatro es 3.

Intentemos volver al problema original. Ahora sabemos que si tenemos información sobre el exponente, podemos determinar el último dígito de una potencia de tres. Después de resolver un problema más simple y más general, intentamos encontrar y utilizar cualquier información adicional en nuestro problema específico. En nuestro caso, sabemos que no tenemos una potencia de tres, tenemos tetraciones. ¿Qué podemos deducir sobre el exponente? Si [math] m [/ math] es al menos 2, entonces podemos ver que [math] ^ m3 [/ math] tiene la forma [math] 3 ^ {3 ^ l} ​​[/ math], para algún exponente [matemáticas] l [/ matemáticas]. Para poder utilizar nuestra información del problema 1, el siguiente paso natural es resolver

Subproblema 2: ¿Cuál es el resto de dividir [matemáticas] 3 ^ l [/ matemáticas] entre 4?

Con un enfoque similar al del problema 1, podemos encontrar el

Solución del subproblema 2: [matemática] 3 ^ l [/ matemática] tiene la forma [matemática] 4k + 3 [/ matemática] cada vez que [matemática] l [/ matemática] es impar y tiene la forma [matemática] ] 4k + 1 [/ math] siempre que [math] l [/ math] sea par.

Nuevamente volvemos al problema original, usamos nuestra nueva información y vemos qué más necesitamos. Como en nuestro problema, [matemática] l [/ matemática] en sí misma será una potencia (una tetración) de 3, entonces [matemática] l [/ matemática] es impar. Ahora tenemos todos los ingredientes. Del problema 2, esto significa que [matemáticas] 3 ^ l [/ matemáticas] tiene la forma [matemáticas] 4k + 3 [/ matemáticas], y del problema 1, esto significa que [matemáticas] 3 ^ {3 ^ l} [/ math] termina en 7. Por lo tanto, todas las tetraciones de 3 mayores que 2 terminan en 7, y hemos terminado.