Deje [math] a, b, c \ en N [/ math] tal que [math] a + b + 1 [/ math] es primo mayor que [math] c + 1. [/ Math] If [math] K_ {n} = n (n + 1), [/ math] prueba que [math] \ displaystyle \ prod_ {i = 1} ^ {c} {(K_ {b + i} – K_ {a})} [/ math] es divisible por [math] \ displaystyle \ prod_ {i = 1} ^ {c} {(K_ {i})}. [/ math]

Answer 1

K (x) – K (y) = x (x + 1) – y (y + 1) = (xy) (x + y + 1)

Ahora usando esto …

Pie (1, c) (K (b + i) – K (a)) = Pie (1, c) (b + i – a) (b + i + a + 1) = Pie (a + b + 1 + i) * Pie (ba + i)

También tenga en cuenta:

Pie (1, c) K (i) =! C *! (C + 1)

Es intuitivo y se puede demostrar fácilmente que la multiplicación de n números naturales continuos siempre es divisible entre! Neg 11 * 12 * 13 * 14 será divisible entre! 4. ……………… diga la Regla 1

Teniendo esto en cuenta, descansar es fácil.

Si probamos el siguiente 2, terminamos

1. El pastel (a + b + 1 + i) es divisible por! (C + 1)
2. Pie (b-a + i) por! C

Prueba para 1:

Pie (1, c + 1) (a + b + 1 + i) = Pie (1, c) (a + b + 1 + i) * (a + b + 1 + c + 1)

Sabemos que LHS de la ecuación anterior es divisible por c + 1 como LHS es divisible por! (C + 1) por la Regla1. Entonces RHS debe ser divisible por c + 1.

Sabemos que a + b +1 es un número primo => a + b + 1 tampoco es divisible por c + 1. (a + b + 1 + c + 1) tampoco será divisible por c + 1. Mirando el RHS, es obvio ahora que Pie (1, c) (a + b + 1 + i) tiene que ser divisible por c + 1. Agregando la Regla1, Pie (1, c) (a + b + 1 + i) será divisible por! c * (c + 1) es decir! (c + 1)

Prueba para 2:

Bueno, si b> = a, entonces aplicar la Regla 1 da la prueba.

Si b <a, supongo que la pregunta no sería válida.

Intentemos:

a = 3, b = 1, c = 2;

(2 * 3 – 3 * 4) (3 * 4 – 3 * 4) = 0

¡Hurra! ¡No aguantaría! b> a debe agregarse a la pregunta.