¿Cómo sería un sistema imaginario modular?

Answer 1

Según tengo entendido, la pregunta señala que obtenemos [math] \ mathbb {C} [/ math] de [math] \ mathbb {R} [/ math] al unir una cuarta raíz primitiva de unidad (a saber, i ) , y pregunta qué sucedería si en su lugar contiguáramos una enésima raíz primitiva de unidad .

Bueno, si n = 1 o 2, estaríamos contiguos a 1 o -1, respectivamente, que ya son números reales, por lo que obtendríamos los números reales .

De lo contrario, si contiguamos una raíz n -ésima primitiva de unidad para [math] n \ geq 3 [/ math], obtendríamos los números complejos . Para ver esto, tenga en cuenta que los números complejos ya contienen raíces primitivas de enésima unidad, a saber

[matemáticas] \ zeta_n: = e ^ {2 \ pi i / n} = \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {n} \ right) + i \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {n} \ right) [/ math]

Por ejemplo, el caso n = 4 da el familiar

[matemáticas] \ zeta_4 = e ^ {2 \ pi i / 4} = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) + i \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) = i [/ math]

y n = 5 nos da

[matemáticas] \ zeta_5 = e ^ {2 \ pi i / 5} = \ frac {\ sqrt {5} -1} {4} + \ sqrt {\ frac {5+ \ sqrt {5}} {8}} yo [/ matemáticas]

Unir cualquier quinta raíz primitiva de unidad a los números reales da como resultado lo mismo que obtendrías si te unieras [math] \ zeta_5 [/ math], y dado que [math] \ zeta_5 [/ math] es solo [math] a + bi [/ math] para algunos números reales a y b tenemos [math] \ mathbb {R} (\ zeta_5) = \ mathbb {R} (i) = \ mathbb {C} [/ math].

Esto es solo una manifestación del hecho de que [math] \ mathbb {C} [/ math] es el cierre algebraico de [math] \ mathbb {R} [/ math]. A menudo verás [math] \ mathbb {C} [/ math] presentado como lo que obtienes cuando tomas [math] \ mathbb {R} [/ math] y contiguas a i , y si bien esto es cierto, es bastante engañoso – el punto es que [math] \ mathbb {C} [/ math] es lo que obtienes cuando tomas [math] \ mathbb {R} [/ math] y adjuntas soluciones a cada ecuación polinómica concebible. Simplemente sucede en este caso particular que junto a una solución a [matemáticas] x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas] se encarga de todo de una sola vez.

Por el contrario, supongamos que tomamos los números racionales [math] \ mathbb {Q} [/ math] en lugar de los reales. En esa situación, no es el caso de que [math] \ mathbb {Q} (i) [/ math] sea el cierre algebraico de [math] \ mathbb {Q} [/ math], y de hecho resulta que [ math] \ mathbb {Q} (\ zeta_5) [/ math] son ​​[math] \ mathbb {Q} (i) [/ math] son ​​diferentes entre sí: son ejemplos de campos ciclotómicos .