¿Para qué valores del entero positivo n es posible dividir los primeros 3n enteros positivos en tres grupos, cada uno de los cuales tiene la misma suma?

Answer 1

no es cierto para [math] n = 1 [/ math], es fácil de ver y no se pueden obtener 3 conjuntos que suman 2 de {1,2,3}

por otro lado, para [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas], puede hacerlo: 7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4

de hecho. eso le muestra que cualquier conjunto de 6 números consecutivos puede dividirse en 3 pares con la misma suma:

[matemáticas] x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5, x + 6 [/ matemáticas] en [matemáticas] (x + 1) + (x + 6) [/ matemáticas], [matemáticas] (x + 2) + (x + 5) [/ matemáticas] y [matemáticas] (x + 3) + (x + 4) [/ matemáticas]

así que si puede lograr el resultado deseado para algún valor de n, también puede hacerlo para n + 2

(¿Está claro? Si tiene una forma de dividir los primeros números [matemáticos] 3n [/ matemáticos] en 3 conjuntos que tienen sumas iguales, luego tome los seis números adicionales [matemáticos] 3n + 1, 3n + 2 [/ matemática] hasta [matemática] 3n + 6 [/ matemática] y divídalos en 3 pares como se indica arriba y agregue uno de estos pares a cada conjunto en su partición original).

En particular, dado que podemos hacerlo para [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas], podemos hacerlo para [matemáticas] n = 4 [/ matemáticas], [matemáticas] n = 6 [/ matemáticas], etc. puede hacerlo para todos los valores pares de [math] n [/ math].

No podemos hacerlo para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]. Pero ¿qué tal [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas]? [matemáticas] 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 [/ matemáticas] [matemáticas], [/ matemáticas] ¿puedes dividir esos nueve enteros en tres conjuntos cada uno con una suma de 15?

(¡Puedes! ¿Ves cómo? Hay más de una forma de hacerlo, aunque todas son muy similares entre sí: “9” debe estar en un conjunto de otros números que sumen 6, por ejemplo).

Y una vez que haga eso, puede obtener [matemática] n = 5 [/ matemática], [matemática] n = 7 [/ matemática], etc. todos los valores impares de [matemática] n [/ matemática] excepto [matemática] n = 1 [/ math] por el mismo razonamiento que usamos para los valores pares de [math] n [/ math]

Answer 2

Imposible para n = 1. Posible para n = 2,3.