¿Para qué enteros [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática], es [matemática] 4a ^ 2 + 1 = b ^ 2 [/ matemática] ??

Answer 1

[matemáticas] 4a ^ 2 + 1 = b ^ 2 \ iff (2a) ^ 2-b ^ 2 = -1 \ iff (2a-b) (2a + b) = – 1 [/ matemáticas]

Dado que [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​enteros. [matemáticas] 2a-b [/ matemáticas] y [matemáticas] 2a + b [/ matemáticas] también lo son. Y dado que [matemática] -1 [/ matemática] solo es divisible por [matemática] -1 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática], entonces uno de los paréntesis debe ser [matemática] -1 [/ matemática ] y el otro [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Probemos ambos casos.

Caso 1.

[matemática] \ begin {cases} 2a-b = 1 \\ 2a + b = -1 \ end {cases} [/ math]

[matemáticas] 2a-b = 1 \ iff b = 2a-1 [/ matemáticas]

Insertar rendimientos

[matemáticas] 2a + b = -1 \ iff 2a + 2a-1 = -1 \ iff 4a = 0 \ iff a = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, la solución del caso 1 es [matemática] (a, b) = (0,2 \ cdot 0 -1) = (0, -1) [/ matemática]

Caso 2.

[matemáticas] \ begin {cases} 2a-b = -1 \\ 2a + b = 1 \ end {cases} [/ math]

[matemáticas] 2a-b = -1 \ iff b = 2a + 1 [/ matemáticas]

Insertar rendimientos

[matemáticas] 2a + b = 1 \ iff 2a + 2a + 1 = + 1 \ iff 4a = 0 \ iff a = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, la solución del caso 2 es [matemáticas] (a, b) = (0,2 \ cdot 0 +1) = (0,1) [/ matemáticas]

Las soluciones encontradas son exhaustivas.

Answer 2

Para satisfacer la restricción dada, [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] también deben satisfacer [matemática] 4a ^ 2 – b ^ 2 = -1 [/ matemática] que es lo mismo que [matemática] ] (2a – b) (2a + b) = -1 [/ matemáticas].

[math] a [/ math] y [math] b [/ math] se supone que son enteros, solo hay dos formas de que esto suceda.

Primera posibilidad: [matemática] 2a – b = -1 [/ matemática] y [matemática] 2a + b = 1 [/ matemática] que produce la única solución [matemática] (a, b) = (0, 1) [/ matemáticas].

Segunda posibilidad: [matemática] 2a – b = 1 [/ matemática] y [matemática] 2a + b = -1 [/ matemática] y obtenemos [matemática] (a, b) = (0, -1) [/ matemática ] como solución.

En general, las únicas soluciones enteras para este problema son [matemáticas] (a, b) \ in \ {(0, -1), (0, 1) \} [/ matemáticas].

Answer 3

[matemáticas] 4a ^ 2 = b ^ 2 – 1 [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] ([/ matemáticas] [matemáticas] 2a) ^ 2 = (b-1) * (b + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] b-1 = 2 * s [/ matemáticas]

[matemáticas] b + 1 = 2 * p [/ matemáticas]

entonces [math] 4sp = 4 * (a ^ 2) [/ math] y [math] sp = a ^ 2 [/ math] mientras syp son enteros de Coprime. Entonces [matemática] s = m ^ 2 [/ matemática] y [matemática] p = n ^ 2 [/ matemática]. Entonces tendremos b + 1 = 2n ^ 2 y b-1 = 2m ^ 2. Entonces n ^ 2 – m ^ 2 = 1

N = (+ 1) o (-1) ym = 0.

b = 1 y a = 0

Answer 4

Cuadrados de enteros, 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, …

La distancia entre cuadrados adyacentes aumenta, [matemática] 4a ^ 2, b ^ 2 [/ matemática] son ​​cuadrados y su distancia es 1. La única posibilidad es que

[matemáticas] 4a ^ 2 = 0, b ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

Entonces a = 0, b = 1 o a = 0, b = -1.

Answer 5

Se mantiene siempre que [math] b = \ pm \ sqrt {4a ^ 2 + 1} [/ math]. No hay mucho más que eso, en realidad.

Quiero decir, primero eliges algunas [matemáticas] a [/ matemáticas]. Entonces obtienes 2 valores de [math] b [/ math].

Como ejemplo, digamos que elijo [math] a = 0 [/ math]. Luego obtengo que [math] b = \ pm \ sqrt {4 \ cdot 0 + 1} = \ pm 1 [/ math].

Si, por otro lado, está pidiendo soluciones enteras, realmente tendré que cambiar mi respuesta.

EDITAR. Entonces aparentemente necesitabas soluciones enteras. Arreglaré mi respuesta si tengo tiempo. Lo siento.

De todos modos, para resolver este problema, la forma más fácil que se me ocurre es la siguiente: reescribe eso como

[matemáticas] 4a ^ 2-b ^ 2 = (2a + b) (2a-b) = – 1 [/ matemáticas]

Acabo de aplicar una diferencia de cuadrados a ese problema.

Entonces, para dos enteros [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], no es difícil mostrar que si [matemática] xy = -1 [/ matemática], entonces yo tengo esa [matemática] ( x, y) = (- 1,1) [/ matemáticas] o [matemáticas] (x, y) = (1, -1) [/ matemáticas]. En otras palabras, tengo los casos:

1. [matemáticas] 2a + b = -1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2a-b = 1 [/ matemáticas].
2. [matemáticas] 2a + b = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2a-b = -1 [/ matemáticas].

El primer caso me da

[matemáticas] 2a = -1-b = b + 1 [/ matemáticas]

lo que da [matemáticas] 2b = -2 [/ matemáticas] así que [matemáticas] b = -1 [/ matemáticas]. Esto implica [matemáticas] 2a = b + 1 = -1 + 1 = 0 [/ matemáticas]. Así [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas].

En cuanto al segundo caso, obtengo que [matemáticas] 2a = 1-b = -1 + b [/ matemáticas]. Eso solo implica que [matemática] 2b = 2 [/ matemática] y así [matemática] b = 1 [/ matemática], luego [matemática] 2a [/ matemática] [matemática] = 1-b = 0 [/ matemática].

En otras palabras, sus únicas soluciones son [matemáticas] ([/ matemáticas] [matemáticas] a, b) = (0, -1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (a, b) = (0,1) [ /matemáticas]. Aparentemente, las dos soluciones que di al principio eran las únicas 2.

Answer 6

Siempre que haya un triángulo en ángulo recto con los lados ‘2a’ y ‘1’ e hipotenusa ‘b’

Answer 7

4a ^ 2 + 1 = b ^ 2

(2a) ^ 2 = b ^ 2 – 1

entonces las soluciones son

a = 0 & b = 1