¿Cuál es el resto cuando [matemáticas] 13 ^ {100} + 17 ^ {100} [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] 25 [/ matemáticas]?

Answer 1

Estos problemas parecen bastante comunes en Quora y no es sorprendente; parecen bastante difíciles de comprender y abordar. Sin embargo, se pueden utilizar los mismos tipos de trucos para todos estos problemas en aritmética modular.

El truco más simple es buscar ciclos. Los poderes de los enteros tienden a ser cíclicos cuando se reducen en un cierto módulo, por lo que podemos ver los poderes de [matemáticas] 13 [/ matemáticas] y [matemáticas] 17 [/ matemáticas] y encontrar un ciclo [matemáticas] \ mod 25 [ /matemáticas].

Sin embargo, lo conveniente de los ciclos modulares es que su longitud debe dividir perfectamente el módulo y no puede ser mayor que el módulo en sí. Este hecho es excelente para nuestro caso, ya que tanto [matemática] 13 [/ matemática] como [matemática] 17 [/ matemática] se están elevando a la potencia [matemática] 100 [/ matemática], que es divisible por nuestro módulo, [matemáticas] 25 [/ matemáticas].

Elevar cualquier número entero a la potencia de [matemática] 100 [/ matemática] y luego dividir por [matemática] 25 [/ matemática] tiene el mismo resto que elevar el entero a la potencia [matemática] 0 [/ matemática], que siempre es igual a uno. Por lo tanto, tanto [matemática] 13 ^ {100} [/ matemática] como [matemática] 17 ^ {100} [/ matemática] tienen un resto de [matemática] 1 [/ matemática] cuando se reduce [matemática] \ mod 25 [/ matemática], y sumarlos juntos resulta en nuestro resto total de [matemática] 2 [/ matemática].

Answer 2

[matemáticas] 13 ^ {100} = 3 ^ {100} + 100 \ cdot 10 \ cdot 3 ^ {99} +… \ equiv 3 ^ {100} [/ matemáticas]

[matemáticas] 17 ^ {100} = 7 ^ {100} + 100 \ cdot 10 \ cdot 7 ^ {99} +… \ equiv 7 ^ {100} [/ matemáticas]

[matemáticas] 7 ^ 4 \ equiv 1 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 7 ^ {100} \ equiv 1 ^ {25} \ equiv 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ 5 \ equiv -7 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 3 ^ {100} \ equiv 7 ^ {20} \ equiv 1 ^ 5 \ equiv 1 [/ matemáticas]

Entonces, el resto solicitado es [math] 2 [/ math].

Answer 3

① considere el dividendo D como (15–2) ^ 100 + (15 + 2) ^ 100

Razones :

(i) para que el PLAZO RESTANTE sea lo más pequeño posible,

en este caso, 2, que es común para ambos corchetes.

(ii) Usando (25–12) ^ 100 y (25–8) ^ 100, estaríamos empantanados con dos TÉRMINOS RESTANTES GRANDES diferentes, 12 y 8.

(ii) Usar 15 como el término binomial más grande está bien. porque poderes

de (15) ^ m, para m (100 → 2), tenemos al menos 5² o 25.

Para el último término, pero uno, 15 ^ 1, tenemos el coeficiente binomial 100 para ayudar a proporcionar el factor 25

② Rem (D) = (- 2) ^ 100 + 2 ^ 100 = 1 # 2 ^ 100 + 1 # 2 ^ 100

= 2 # 2 ^ 100 = 2 × 2 ^ 100 = 2 ^ 1 × 2 ^ 100 = 2 ^ 101

③ 2 ^ 100 = (2 ^ 10) ² = (1024) ^ 10 = {1025–1} ²≡ 1 mod 25 【5 | 1025】

④ D≡2 * 2 ^ 100≡ (2 × 1) mod 25 = 2 mod 25

Answer 4

El resto serán 2 …

Esto se puede hacer por expansión binomial … solo manipulado 13 como 10 + 3 y 17 como 20-3

Ahora el poder de 10 y 20 elevado a 2 … .100 evidentemente divisible por 25 …

3 ^ 100 se puede escribir como 9 ^ 50 y 9 se puede escribir como 10-1 ……

Y el poder de 10 cuando se eleva a 2 … .50 será divisible por 25 … por lo tanto, quedan dos términos, uno será divisible porque ot contiene 50C49 … y el otro 2 …

Por lo tanto, 2 será el resto

Si alguien nota algún error … por favor avíseme

Answer 5

Como tanto [math] 13 [/ math] como [math] 17 [/ math] son ​​primos con respecto a [math] 25 [/ math], simplemente podemos aplicar el teorema de Euler.

Tenga en cuenta que [math] 25 = 5 ^ 2 [/ math], por lo que la función totient [math] \ phi (25) = 4 \ times5 = 20 [/ math]. Esto significa que cualquier número [math] a [/ math] que es primo con [math] 25 [/ math] tiene la propiedad de que [math] a ^ {20} \ equiv 1 \ mod 25 [/ math].

Como [matemáticas] 13 ^ {100} = (13 ^ {20}) ^ 5 \ equiv 1 ^ 5 = 1 \ mod 25 [/ matemáticas], y lo mismo vale para [matemáticas] 17 [/ matemáticas], la respuesta es [matemática] 1 + 1 = 2 [/ matemática].

Answer 6

13 ^ 100 + 17 ^ 100/25
Euler de 25 es 20
Euler dice
a ^ 20/25 = 1
Aplícalo aquí
(13 ^ 20) ^ 5 + (17 ^ 20) ^ 5/25
= 1 ^ 5 + 1 ^ 5/25
= 1 + 1/25
= 2/25
= 2 restos

Answer 7

Si conoce la función totient, la respuesta de Robby es una respuesta de libro de texto.

Aquí hay otra respuesta.

[matemáticas] 13 ^ 2 \ mod 25 = (- 6) \ mod 25 [/ matemáticas]

[matemáticas] 13 ^ 4 \ mod 25 = (- 6) ^ 2 \ mod 25 = 11 \ mod 25 [/ matemáticas]

[matemáticas] 13 ^ 8 \ mod 25 = 11 ^ 2 \ mod 25 = (- 4) \ mod 25 [/ matemáticas]

[matemáticas] 13 ^ {10} \ mod 25 = (- 6) \ veces (-4) \ mod 25 = (- 1) \ mod 25 [/ matemáticas]

[matemáticas] 17 ^ 2 \ mod 25 = (- 11) \ mod 25 [/ matemáticas]

[matemáticas] 17 ^ 4 \ mod 25 = (- 4) \ mod 25 [/ matemáticas]

[matemáticas] 17 ^ 8 \ mod 25 = (- 4) ^ 2 \ mod 25 = (- 9) \ mod 25 [/ matemáticas]

[matemáticas] 17 ^ {10} \ mod 25 = (- 11) \ veces (-9) \ mod 25 = (- 1) \ mod 25 [/ matemáticas]

entonces, podemos obtener

[matemáticas] 13 ^ {100} \ mod 25 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 17 ^ {100} \ mod 25 = 1 [/ matemáticas]

2 es el resto.

Answer 8

Aplica el teorom euler para obtener la respuesta….

Answer 9

Los últimos dos dígitos para 13 ^ 100 y 17 ^ 100 son 01 cada uno.

Entonces su suma dividida entre 25 dejará el resto de 02

Answer 10

5 5