Sean a, b, j y k enteros positivos que satisfagan a ^ j = b ^ k, (j, k) = 1. ¿Cómo muestra que a = r ^ k y b = r ^ j para algún entero positivo r?

Primero considere el caso donde ayb son potencias primarias. Deje [math] a = p ^ m [/ math], [math] b = p ^ n [/ math] para enteros positivos m, n.

Por hipótesis, tenemos enteros positivos j, k tal que [matemática] p ^ {mj} = p ^ {nk} [/ matemática] con [matemática] (j, k) = 1 [/ matemática]. Como mj = nk sabemos que k | mj. Como k y j son coprimos, podemos deducir que k | metro. Eso significa que hay un número entero positivo q tal que m = kq. Además, como mj = nk tenemos kqj = nk yn = jq. Deje [math] r = p ^ j [/ math]. Podemos reescribir ayb:

[matemáticas] a = p ^ m = p ^ {kq} = (p ^ q) ^ k = r ^ k [/ matemáticas]

[matemáticas] b = p ^ n = p ^ {jq} = (p ^ q) ^ j = r ^ j [/ matemáticas]

Así que hemos demostrado la declaración para el caso del poder principal.

Para extender este argumento a arbitrarias ayb, podemos considerar los divisores primos individualmente. Primero tenga en cuenta que ayb tienen los mismos factores primos:

[matemáticas] p | a \ iff p | a ^ j = b ^ k \ iff p | b [/ matemáticas]

Deje que [math] a = \ Pi {p_i} ^ {a_i} [/ math] y deje que [math] b = \ Pi {p_i} ^ {b_i} [/ math] sean las descomposiciones de potencia principal de a y b. Podemos aplicar el argumento anterior a cada [matemática] p_i [/ ​​matemática] para encontrar una [matemática] q_i [/ ​​matemática] tal que:

[matemáticas] {p_i} ^ {a_i} = ({p_i} ^ {q_i}) ^ k [/ matemáticas]

[matemáticas] {p_i} ^ {b_i} = ({p_i} ^ {q_i}) ^ j [/ matemáticas]

Deje [math] r = \ Pi {p_i} ^ {q_i} [/ math]. Calculamos

[matemáticas] a = \ Pi {p_i} ^ {a_i} = \ Pi {p_i} ^ {k q_i} = (\ Pi {p_i} ^ {q_i}) ^ k = r ^ k [/ matemáticas]

[matemáticas] b = \ Pi {p_i} ^ {b_i} = \ Pi {p_i} ^ {j q_i} = (\ Pi {p_i} ^ {q_i}) ^ j = r ^ j [/ matemáticas]

Entonces r satisface [matemáticas] a = r ^ k [/ matemáticas] y [matemáticas] b = r ^ j [/ matemáticas]. QED

Como [matemáticas] a ^ j = b ^ k [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] a ^ {1 / k} = (a ^ j) ^ {1 / jk} = (b ^ k) ^ {1 / jk} = b ^ {1 / j} [/ matemáticas]. Entonces

[matemática] r = a ^ {1 / k} = b ^ {1 / j} \ en \ mathbb R [/ matemática] y [matemática] a = r ^ k, b = r ^ j [/ matemática].

Queda por demostrar que [math] r \ in \ mathbb N [/ math].

Si [matemática] j = k = 1 [/ matemática], entonces [matemática] a = b [/ matemática]; podemos elegir [matemáticas] r = a = b [/ matemáticas]. De ahora en adelante suponga [math] \ max \ {j, k \}> 1 [/ math].

Como [math] \ gcd (j, k) = 1 [/ math], podemos elegir enteros positivos [math] m, n [/ math] de modo que [math] mj-nk = 1 [/ math], intercambiando [ matemáticas] j, k [/ matemáticas] si es necesario. Ahora

[matemáticas] r = r ^ 1 = (r ^ j) ^ m \ cdot (r ^ k) ^ {- n} = \ frac {b ^ m} {a ^ n} \ in \ mathbb Q [/ math] .

Como [math] r \ in \ mathbb Q, [/ math] ambos [math] r ^ k \ in \ mathbb N, [/ math] [math] r ^ j \ in \ mathbb N [/ math] [math] , [/ math] y al menos uno de [math] j, k [/ math] es mayor que [math] 1, [/ math] concluimos que [math] r \ in \ mathbb N [/ math]. Esto completa la afirmación. QED