Primero considere el caso donde ayb son potencias primarias. Deje [math] a = p ^ m [/ math], [math] b = p ^ n [/ math] para enteros positivos m, n.
Por hipótesis, tenemos enteros positivos j, k tal que [matemática] p ^ {mj} = p ^ {nk} [/ matemática] con [matemática] (j, k) = 1 [/ matemática]. Como mj = nk sabemos que k | mj. Como k y j son coprimos, podemos deducir que k | metro. Eso significa que hay un número entero positivo q tal que m = kq. Además, como mj = nk tenemos kqj = nk yn = jq. Deje [math] r = p ^ j [/ math]. Podemos reescribir ayb:
[matemáticas] a = p ^ m = p ^ {kq} = (p ^ q) ^ k = r ^ k [/ matemáticas]
[matemáticas] b = p ^ n = p ^ {jq} = (p ^ q) ^ j = r ^ j [/ matemáticas]
- ¿Cuál es el resto cuando [matemáticas] 13 ^ {100} + 17 ^ {100} [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] 25 [/ matemáticas]?
- Sea [math] d (n) [/ math] el número de divisores de un número natural [math] n [/ math]. ¿Cómo se demuestra que [matemáticas] d (mn) = d (m) d (n) [/ matemáticas] si [matemáticas] mcd (m, n) = 1 [/ matemáticas]?
- ¿Cómo se pueden dividir n enteros en m subconjuntos no vacíos de modo que se minimice la diferencia entre las sumas de subconjuntos máximas y mínimas?
- ¿Cómo funciona Extended Euclid?
- ¿Para qué valores del entero positivo n es posible dividir los primeros 3n enteros positivos en tres grupos, cada uno de los cuales tiene la misma suma?
Así que hemos demostrado la declaración para el caso del poder principal.
Para extender este argumento a arbitrarias ayb, podemos considerar los divisores primos individualmente. Primero tenga en cuenta que ayb tienen los mismos factores primos:
[matemáticas] p | a \ iff p | a ^ j = b ^ k \ iff p | b [/ matemáticas]
Deje que [math] a = \ Pi {p_i} ^ {a_i} [/ math] y deje que [math] b = \ Pi {p_i} ^ {b_i} [/ math] sean las descomposiciones de potencia principal de a y b. Podemos aplicar el argumento anterior a cada [matemática] p_i [/ matemática] para encontrar una [matemática] q_i [/ matemática] tal que:
[matemáticas] {p_i} ^ {a_i} = ({p_i} ^ {q_i}) ^ k [/ matemáticas]
[matemáticas] {p_i} ^ {b_i} = ({p_i} ^ {q_i}) ^ j [/ matemáticas]
Deje [math] r = \ Pi {p_i} ^ {q_i} [/ math]. Calculamos
[matemáticas] a = \ Pi {p_i} ^ {a_i} = \ Pi {p_i} ^ {k q_i} = (\ Pi {p_i} ^ {q_i}) ^ k = r ^ k [/ matemáticas]
[matemáticas] b = \ Pi {p_i} ^ {b_i} = \ Pi {p_i} ^ {j q_i} = (\ Pi {p_i} ^ {q_i}) ^ j = r ^ j [/ matemáticas]
Entonces r satisface [matemáticas] a = r ^ k [/ matemáticas] y [matemáticas] b = r ^ j [/ matemáticas]. QED