¿Cuál es el resto cuando 6 ^ 66 se divide por 1297? ¿Cuál es la forma más fácil de resolver este tipo de problemas restantes?

Answer 1

Cuando veo tales preguntas, pruebo ciegamente el método de Fermat encontrando el número del denominador de Euler y sigo esa pista. Pero aquí, como resulta que [matemáticas] 1297 [/ matemáticas] es un número primo y es el número de Euler [matemáticas] 1296 [/ matemáticas] es de poca utilidad. Entonces, no podemos usar ese método aquí.

El siguiente enfoque es analizar el numerador y utilizar la fórmula:

rem [matemáticas] \ Bigg (\ dfrac {(hacha \ pm 1) ^ k} {x} \ Bigg) [/ matemáticas] [matemáticas] = (\ pm 1) ^ k [/ matemáticas]

Esto se puede utilizar para simplificar la pregunta en gran medida y ayudarnos a llegar a la respuesta. Una observación importante al observar el numerador es que [matemática] 6 ^ 4 = 1296 [/ matemática]. Puede que no sea muy intuitivo, pero cuando busca expresar el numerador solo uno más o menos que el denominador, eventualmente se dará cuenta del hecho. [matemáticas] 216 [/ matemáticas] es el conocido cubo de [matemáticas] 6 [/ matemáticas], por lo que un ojo atento observará de inmediato que el siguiente poder es [matemáticas] 1296 [/ matemáticas], y oye esto = [matemáticas ] 1297 -1 [/ matemáticas]

Ahora podemos proceder de la siguiente manera:

rem [matemáticas] \ Bigg (\ dfrac {6 ^ {66}} {1297} \ Bigg) [/ matemáticas] = rem [matemáticas] \ Bigg (\ dfrac {6 ^ {64} \ veces 6 ^ 2} {1297 } \ Bigg) [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] R [/ math] = rem [math] \ Bigg (\ dfrac {(6 ^ 4) ^ {16} \ times 36} {1297} \ Bigg) [/ math ]

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] R [/ math] = rem [math] \ Bigg (\ dfrac {(1297-1) ^ {16} \ times 36} {1297} \ Bigg) [/ math ]

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] R [/ math] = rem [math] \ Bigg (\ dfrac {1 \ times 36} {1297} \ Bigg) [/ math]

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] R [/ math] = rem [math] \ Bigg (\ dfrac {36} {1297} \ Bigg) [/ math]

[matemática] \ Rightarrow [/ matemáticas] [matemáticas] R = 36 [/ matemáticas]

---

Avísame si hay algún problema.

Answer 2

[matemáticas] 6 ^ 4 = 1296 [/ matemáticas]

[matemáticas] 6 ^ 4 = -1 [/ matemáticas] [matemáticas] (mod 1297) [/ matemáticas]

[matemáticas] (6 ^ {64}) = 1 [/ matemáticas] [matemáticas] (mod1297) [/ matemáticas]

[matemáticas] (6 ^ {66}) = 6 ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] mod (1297) [/ matemáticas]

El resto es 36

Answer 3

La mejor y más simple forma de resolver este problema y todas esas preguntas es usar las propiedades comunes de las técnicas de congruencia y módulo:

Acerque el número del lado izquierdo al factor del número por el cual se dividirá el número dado, por ejemplo, en este caso se toma 6 ^ 4 = 1296 ya que está más cerca del no 1297.

6 ^ 4 ≡ -1 (mod 1297)
6 ^ 64 ≡ (-1) ^ 16 (mod 1297)
6 ^ 64 ≡ 1 (mod 1297)

6 ^ 66 ≡6 ^ 2 (mod 1297)
6 ^ 66 ≡36 (mod 1297)

Por lo tanto, el resto requerido es 36.