Suponga que [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] son ​​enteros positivos con [matemática] a <b <c [/ matemática] tal que [matemática] \ dfrac {1} {a} + \ dfrac {1} {b} + \ dfrac {1} {c} = 1 [/ matemáticas]. ¿Qué es [matemáticas] a + b + c [/ matemáticas]?

Answer 1

Tenga en cuenta que [matemática] a> 1 [/ matemática], ya que [matemática] a = 1 [/ matemática] fuerza [matemática] \ frac {1} {b} + \ frac {1} {c} = 0 [/ matemática ] mientras que [math] b> 0 [/ math] y [math] c> 0 [/ math].

Si [math] a \ ge 3 [/ math], entonces [math] \ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} + \ frac {1} {c} \ le \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} <1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemática] a = 2 [/ matemática].

Así, [matemática] 2 <b <c [/ matemática] y [matemática] \ frac {1} {b} + \ frac {1} {c} = \ frac {1} {2} [/ matemática]. Si [math] b \ ge 4 [/ math], entonces [math] \ frac {1} {b} + \ frac {1} {c} \ le \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} <\ frac {1} {2} [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemática] b = 3 [/ matemática], de modo que [matemática] \ frac {1} {c} = \ frac {1} {2} – \ frac {1} {3} = \ frac {1} { 6} [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] c = 6 [/ matemáticas].

Por lo tanto, la única solución para esto es [matemática] (a, b, c) = (2,3,6) [/ matemática], lo que implica que [matemática] a + b + c = 11 [/ matemática].

Answer 2

Seguiré una prueba muy parecida a la de Amitabha Tripathi, pero evitaré las fracciones temibles a toda costa. Y como muchos lo hacen, cambiaré un poco la pregunta y diré [math] a \ leb \ lec [/ math].

Ahora, como se prometió, aquí van las fracciones mientras escribimos la condición como [math] ab + bc + ca = abc [/ math]. Forme eso y las desigualdades que podemos decir, [math] 3bc> abc \ Rightarrow 3> a [/ math] pero como Amitabha Tripathi señaló, [math] a> 1. [/ Math]

Entonces con [matemática] a = 2 [/ matemática], [matemática] 2b + 2c = bc \ Rightarrow [/ matemática] [matemática] (b – 2) (c – 2) = 4 [/ matemática].

Por lo tanto, [matemáticas] (a, b, c) = (2,3,6) [/ matemáticas] o [matemáticas] (2,4,4) [/ matemáticas]

Answer 3

[matemáticas] a = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] b = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] c = 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {6} = \ frac {3} {6} + \ frac {2} {6} + \ frac {1} {6} = 1 [/ matemáticas]

Entonces, los valores de [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas] así concluidos, ahora tenemos que encontrar el total:

[matemáticas] 2 + 3 + 6 = 11 [/ matemáticas]