Cómo comenzar a aprender teoría de números

Answer 1

Comencemos con la teoría de números. Por números, quiero decir números positivos por simplicidad.

1. Comience con la definición de divisibilidad que si un | b (leer a divide b) luego b = ak para algún entero k.
2. Ahora puede pensar en “no divide” también. Eso es el resto . Hasta ahora es matemática primaria que aprendiste en la escuela.
3. Aprende el concepto de factor y múltiplo de un número. Si a es un factor de b, entonces a divide b y b es un múltiplo de a. Sencillo. ¿Derecho?
1. Observe que 1 y el número en sí son los dos factores para cualquier número. Entonces, el número de factores para a> 1 es al menos 2.
2. Ahora considere los números a> 1 que tienen exactamente dos factores. Se llaman números primos. Otros son compuestos. 1 no es primo ni compuesto. Eso es. ¿El número de primos es infinito? ¡Contestarlo!
4. ¿Puedes escribir cualquier número como producto de uno o más factores primos? ¿Es único? Esa es la factorización prima y el teorema fundamental de la aritmética . La factorización prima es difícil y aprendiste uno de los problemas teóricos de números importantes.
5. ¿Qué tal contar el número de factores de un número dado? ¿Qué tal encontrar la suma de todos ellos? (Dado solo su factorización prima).
6. Aprenda el concepto de divisores comunes más grandes y múltiplo mínimo común. Encontrar el MCD de dos números dados: aprenderá uno de los algoritmos antiguos y eficientes que se usa incluso hoy en día: el algoritmo de Euclides para encontrar MCD.
7. Dado un número n, ¿qué tal encontrar el número de números 1 <= m <n de modo que mcd (m, n) = 1? Esa es la función phi de Euler . ¡Ya has llegado hasta aquí! Felicidades.
8. Ahora vamos a la aritmética modular. a congruente con b módulo m significa que m divide ab. Mira, es solo una notación elegante.
9. Luego lee sobre el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Euler . También aprenderá sobre la identidad de Bezout, el concepto de inversas modulares, etc.
10. ¿Qué hay de resolver algunas ecuaciones que involucran congruencias? (involucrando aritmética modular). Considere los lineales por simplicidad. ¿Es posible tener una solución todo el tiempo? Otro problema interesante en criptografía es el problema de logaritmo discreto.

Genial, este es el comienzo de la teoría de números. Es solo la punta del iceberg. Hay muchos problemas interesantes sin resolver como la conjetura de Twin Prime, la conjetura de Goldbach, etc. Otros han sugerido varios recursos. Úsalos y buena suerte en tu viaje en la tierra de los números 🙂

Answer 2

Depende mucho de su posición inicial y su objetivo. Asumiré que no sabes nada al principio y quieres aprender solo por diversión.

En ese caso, creo que es bueno comenzar con la divisibilidad básica. En mi opinión, la mejor manera de aprender esto es aprender la definición básica y luego tratar de resolver un montón de problemas. Hay muchos ejercicios / problemas que puedes resolver solo usando algunas técnicas básicas como la factorización de números primos, MCD y quizás el teorema de Bézout; ver, por ejemplo, Brillante | Sobresalir en matemáticas y ciencias. Al resolver muchos problemas (es bueno comenzar con algunos muy básicos) obtienes algo de intuición y buenos conocimientos básicos sobre los que construir.

Después de eso, puede comenzar a aprender algunos conceptos más avanzados, como los residuos cuadráticos, la función totient de Euler, el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Wilson, el teorema del elemento primitivo (no estoy seguro sobre el nombre de este teorema en inglés, afirma que siempre hay existe un elemento primitivo módulo un número primo) y comience a usarlos para resolver algunos problemas más avanzados, como las ecuaciones de diofantina. También es una buena idea aprender algo acerca de los grupos y tratar de establecer cada uno de los teoremas anteriores en el módulo de grupos multiplicativos del lenguaje [matemáticas] n [/ matemáticas] ya que la mayoría de los resultados son muy naturales en este contexto. También puede aprender algunas propiedades básicas de las funciones multiplicativas.

Ahora, probablemente hay muchas maneras de continuar. Mencionaré algunos de ellos.

• Continúa estudiando las ecuaciones de Diophantine, comenzando con la ecuación de Pell y sus generalizaciones. Esto puede conducir a la teoría de números algebraicos, la teoría de aproximaciones racionales y formas cuadráticas.
• Hay una forma más práctica que conduce a la criptografía y cosas como estas: aprender más sobre los grupos multiplicativos, los números primos y los algoritmos para la factorización prima o la determinación de si un número es primo.
• Es posible que desee estudiar la distribución de los números primos, ya sea que haya infinitos primos gemelos o la conjetura de Goldbach. Esto lleva a la teoría analítica de números, de la cual se pueden aprender los conceptos básicos con un poco de conocimiento del análisis real. Recomendaría Introducción a la teoría analítica de números por Tom M. Apostol.

Terminaré con algunos (en mi opinión buenos) recursos particulares para estudios posteriores. Probablemente hay muchos sitios donde aprender los conceptos básicos (y no tengo ningún favorito en inglés), así que no los mencionaré.

• Hay algunos artículos expositivos de Brian Conrad en este sitio: documentos expositivos.
• Probablemente hay muchos cursos sobre teoría analítica de números en línea, los recomendaría Andrew Granville (está en inglés, no se confunda con el enlace en francés): Théorie analytique des nombres, Automne 2012. Sin embargo, requieren un Conocimiento avanzado de análisis.
• Hay dos artículos más de Andrew Granville que se pueden leer sin mucho conocimiento (aunque no con la intención de entenderlo todo). El primero es en realidad mi favorito y comienza discutiendo la pregunta de si hay más números primos de la forma [matemáticas] 4k + 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] 4k + 3 [/ matemáticas]: http: //www.dms .umontreal.ca / ~ andrew / PDF / PrimeRace.pdf . El otro trata sobre un nuevo enfoque hacia la teoría analítica de números sin la necesidad de la continuación analítica de la función Zeta de Riemann con una introducción básica al problema en las primeras páginas: https://arxiv.org/pdf/1406.3754v …

¡Feliz aprendizaje, me encantaría responder cualquier otra pregunta!

Answer 3

Solo conozco un curso MOOC:

Diversión con números primos: el misterioso mundo de las matemáticas

MIT OpenCourseWare:

Teoría de los números

Puede consultar TODOS los cursos en línea en:

Descubra cursos y MOOC gratuitos en línea • Class Central

MOOCs indios:

NOC: Página de inicio

Gracias por la A2A

Answer 4

Puede estudiar temas específicos de un libro como el de Neal Koblitz o Alfred Menezes o cualquier otro buen libro, o puede revisar varios artículos escritos en esos sitios web competitivos por otros usuarios (Topcoder tiene uno).

Answer 5

Comencé con el libro de teoría de números elemental de David M. Burton. luego visité mucho el arte de resolver problemas. Sitio web realmente genial. Encontré innumerables problemas de diversa dificultad y soluciones desde diferentes puntos de vista. también puede encontrar buenos problemas discutidos en math.stackexchange
brilliant.org tiene muy buenos problemas también. 🙂 diviértete.

Answer 6

Será mejor si puedes comprar algunos libros, te estoy dando las mejores opciones

1. SKMapa (para básico)
2. DMBurton
3. Niño Barnard
4. Álgebra Superior Salón y Caballero

Estas son las mejores opciones, ve y toma algunas. ¡¡Feliz aprendizaje!!

Answer 7

Teoría elemental de números por David M. Burton