¿Cómo demostró Euler la conexión entre los números primos y la función Zeta de Riemann?

Leonhard Euler demostró el

en su tesis Variae Observaciones alrededor de series infinitas ( varias observaciones sobre series infinitas ), publicado por la Academia de San Petersburgo en 1737.

donde el lado izquierdo es igual a la función zeta de Riemann:

y el producto en el lado derecho se extiende sobre todos los números primos p :

Prueba:

Restando el segundo del primero, eliminamos todos los elementos que tienen un factor de 2:

Repitiendo para el próximo término:

Restando de nuevo obtenemos:

donde todos los elementos que tienen un factor de 3 o 2 (o ambos) se eliminan.
Se puede ver que el lado derecho está siendo tamizado. Repitiendo infinitamente obtenemos:

Dividiendo ambos lados por todo menos las ζ ( s ) que obtenemos:

Esto se puede escribir de manera más concisa como un producto infinito sobre todos los primos p :

Prueba de la fórmula del producto Euler para la función zeta de Riemann – Wikipedia

Función zeta de Riemann – Wikipedia

Euler probó la fórmula del producto Euler . Euler murió en 1783. Riemann nació en 1826.

Posteriormente, se la conoce como la fórmula del producto Euler para la función zeta de Riemann , la función zeta de Riemann o la función zeta de Euler-Riemann . Por lo que puedo decir, se refieren a lo mismo, pero la función original de Euler no utiliza análisis complejos.

La función de Euler, para números reales, utiliza los recíprocos de los números primos, por lo que la conexión es bastante simple; de ​​hecho, está integrada en:

Fuente de fórmula y buena explicación: http://empslocal.ex.ac.uk/people


Esencialmente, la función de Euler dice que la frecuencia de los números primos obedece a una distribución predecible determinada inversamente por su tamaño. No requiere la función zeta de Riemann para explicar qué es esto: ¿cómo podríamos saber cuántos números primos hay antes de un número específico x?