Leonhard Euler demostró el
en su tesis Variae Observaciones alrededor de series infinitas ( varias observaciones sobre series infinitas ), publicado por la Academia de San Petersburgo en 1737.
donde el lado izquierdo es igual a la función zeta de Riemann:
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y el producto en el lado derecho se extiende sobre todos los números primos p :
Prueba:
Restando el segundo del primero, eliminamos todos los elementos que tienen un factor de 2:
Repitiendo para el próximo término:
Restando de nuevo obtenemos:
donde todos los elementos que tienen un factor de 3 o 2 (o ambos) se eliminan.
Se puede ver que el lado derecho está siendo tamizado. Repitiendo infinitamente obtenemos:
Dividiendo ambos lados por todo menos las ζ ( s ) que obtenemos:
Esto se puede escribir de manera más concisa como un producto infinito sobre todos los primos p :
Prueba de la fórmula del producto Euler para la función zeta de Riemann – Wikipedia
Función zeta de Riemann – Wikipedia