“Ojos de serpiente” significa que todos los dados que aparecen con el número “1” – entonces si tenemos 5 dados, entonces Ojos de serpiente serían 5 1s (¡Yahtzee!)
Dado que el resultado de las tiradas de dados son independientes entre sí, simplemente tenemos que multiplicar la probabilidad de que cada dado se lance para ser un 1:
[matemáticas] P (todos ~ 1) = P (dados ~ 1 = 1) \ veces P (dados ~ 2 = 1) \ veces … .. \ veces P (dados ~ N = 1) = P (solo ~ dados = 1) ^ N [/ matemáticas]
Entonces, generalicemos.
- ¿Cómo demostramos que si p es un número primo y p no es igual a 3, entonces p ^ 2 + 2 es divisible por 3?
- ¿Cuáles son los buenos nombres de bebés que comienzan con la letra ‘N’?
- ¿Cuál es el resto para 2 ^ (48) / 7?
- Hipotéticamente, solo suponiendo ZF (C), ¿cuánto duraría la prueba completa del último teorema de Fermat?
- ¿Cómo se puede demostrar matemáticamente que, si n y k son enteros positivos, entonces [matemática] \ lceil {\ frac {n} {k}} \ rceil = \ lfloor {\ frac {n-1} {k}} \ rfloor +1 [/ matemáticas]?
Tenemos [matemáticas] N [/ matemáticas] dados imparciales e imparciales, que tienen lados [matemáticas] k [/ matemáticas].
Por lo tanto: [matemáticas] P (solo ~ dados = 1) = \ frac {1} {k} [/ matemáticas]
Por lo tanto:
[matemáticas] P (serpiente ~ ojos) = \ frac {1} {k ^ N} [/ matemáticas]
Para un conjunto normal de dados (k = 6, N = 2), entonces tenemos [matemáticas] P (serpiente ~ ojos) = \ frac {1} {6 ^ 2} = \ frac {1} {36} [/ matemáticas]
Cuál es la respuesta que esperaríamos para este ejemplo específico.
Desde entonces, el interlocutor ha agregado algunos detalles nuevos : cambiar la definición de ojos de serpiente a “2 o más”.
La forma más fácil de calcular esto es calcular las probabilidades de “0 unos” o “1 uno”, y esta es la probabilidad de falla
[matemáticas] P (sin ojos) = \ frac {k-1} {k} ^ N [/ matemáticas]
Dado que los dados pueden tomar todos los valores permitidos, excepto 1.
[matemática] P (1 ojo) = ^ NC_1 \ cdot \ frac {1} {k} \ cdot (\ frac {k-1} {k}) ^ {N-1} [/ matemática]
Donde [math] ^ nC_r [/ math] es “n choose r”: la cantidad de formas de extraer r miembros de una población de n – [math] ^ nC_1 = n [/ math]
Por lo tanto,
[matemáticas] P (ojos = 0,1) = \ frac {k-1} {k} ^ N + \ frac {N} {k} \ cdot (\ frac {k-1} {k}) ^ {N -1} [/ matemáticas]
Por lo tanto
[matemáticas] P (serpiente ~ ojos ~ nueva ~ definición) = 1 – \ frac {k-1} {k} ^ N – \ frac {N} {k} \ cdot (\ frac {k-1} {k} ) ^ {N-1} [/ matemáticas]
Entonces, si volvemos a conectar nuestros números para N = 2, deberíamos obtener nuestro número 1/36 …
¡Uf!
Entonces tenemos dos fórmulas, dependiendo de su definición de “ojos de serpiente”
Definición uno (todos los dados = 1)
[matemáticas] P (serpiente ~ ojos ~ 1) = \ frac {1} {k ^ N} [/ matemáticas]
Definición dos (al menos dos dados = 1)
[matemáticas] P (serpiente ~ ojos ~ 2) = 1 – \ frac {k-1} {k} ^ N – \ frac {N} {k} \ cdot (\ frac {k-1} {k}) ^ {N-1} [/ matemáticas]
Para N justo, dados uniformes con k lados.