¿Puede probar que [matemáticas] k [/ matemáticas] divide [matemáticas] \ binom {kn} {n} [/ matemáticas] con [matemáticas] n, k> 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

Realmente es bastante simple, hay una identidad binomial que se muestra fácilmente **

[matemáticas] \ dbinom {a} {b} = \ dfrac {a} {b} \ dbinom {a-1} {b-1} [/ matemáticas]

Use esto para [matemáticas] a = nk [/ matemáticas] y [matemáticas] b = n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dbinom {nk} {n} = \ dfrac {nk} {n} \ dbinom {nk-1} {n-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = k \ dbinom {kn-1} {n-1} \ qquad \ blacksquare [/ math]

que es divisible por [matemáticas] k [/ matemáticas] para [matemáticas] n, k> 0 [/ matemáticas].

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** Podemos ver que podemos elegir un equipo de personas [matemáticas] b [/ matemáticas] de personas [matemáticas] a [/ matemáticas] y luego un líder de los miembros del equipo [matemáticas] b [/ matemáticas] en [matemáticas ] \ binom {a} {b} b [/ math] formas, como alternativa, elija un líder de [math] a [/ math] people y [math] b-1 [/ math] miembros restantes del equipo de [math] a- 1 [/ math] personas en [math] a \ binom {a-1} {b-1} [/ math] maneras. Por lo tanto, [math] \ binom {a} {b} b = a \ binom {a-1} {b-1} [/ math].

También puede usar la fórmula binomial para mostrar esto [matemáticas] \ binom {a} {b} = \ frac {a!} {B! (Ab)!} = \ Frac {a} {b} \ frac {(a -1)!} {(B-1)! (Ab)!} = \ Frac {a} {b} \ binom {a-1} {b-1} [/ math] pero es menos divertido.

Answer 2

Si. Recuerde la definición de [matemáticas] \ binom {kn} {n} [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ binom {kn} {n} = \ frac {(kn)!} {(kn-n)! n!} [/ matemáticas]

Es fácil ver que [math] k [/ math] es un divisor aquí, ya que [math] k [/ math] es un divisor en [math] kn [/ math]. Si escribimos la última expresión de manera diferente, vemos que

[matemáticas] \ binom {kn} {n} = \ frac {\ prod_ {x = 0} ^ {n-1} (kn-x)} {\ prod_ {x = 1} ^ nx} = \ frac {kn } {n} \ prod_ {x = 1} ^ {n-1} \ frac {kn-x} x = k \ prod_ {x = 1} ^ {n-1} \ frac {kn-x} x [/ matemáticas]

y ahora es obvio que [math] k [/ math] es un divisor.