Cómo demostrar que [math] b_ {n} = b_ {n-1} + b_ {n-2} \ forall n \ geq3 [/ math] donde [math] b_ {n} [/ math] es la secuencia de Números de Lucas usando inducción

Answer 1

Es la definición de Lucas Numbers, pero también estoy dando una prueba …

Antes que nada, escribamos algunos números de Lucas:

[matemáticas] 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47 … [/ matemáticas]

Ahora aplicando el PMI …

Observamos que la afirmación es verdadera para [matemáticas] n = 3,4,… [/ matemáticas]

es decir, [matemáticas] 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1,… [/ matemáticas]

Suponemos que es cierto para el término [matemáticas] enésimo [/ matemáticas] es decir,

[matemáticas] b_n = b_ {n-1} + b_ {n-2} [/ matemáticas]

Necesitamos usar una relación entre los números de Lucas y los números de Fibonacci:

[matemática] eq 1: b_n = F_ {n-1} + F_ {n + 1} \ forall n \ geq 3 [/ math]

Ahora escribimos esta relación para [math] b_ {n-1} [/ math] y [math] b_ {n-2} [/ math]:

[matemática] ecuación 2: b_ {n-1} = F_ {n-2} + F_n [/ matemática]

[matemática] eq 3: b_ {n-2} = F_ {n-3} + F_ {n-1} [/ matemática]

Y también para [matemáticas] b_ {n + 1} = F_n + F_ {n + 2} [/ matemáticas]

Sabemos que [matemáticas] F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} [/ matemáticas]

Entonces podemos escribir [matemáticas] b_ {n + 1} = F_ {n-1} + F_ {n-2} + F_ {n + 1} + F_n [/ matemáticas]

De [math] eq 1 [/ math] y [math] 2 [/ math] podemos escribir [math] b_ {n + 1} = b_n + b_ {n-1} [/ math] y por lo tanto probamos …