¿Cuál es la relación entre la hipótesis de Riemann y los números primos?

Answer 1

Explicaré un poco el comentario de Robert.

Explicación de Layman: suponga que tiene un grupo de amigos, cada uno con un instrumento que juega a una frecuencia igual a la parte imaginaria de un cero de la función zeta de Riemann. Sabemos que estos instrumentos son todo lo que necesitamos para crear una canción que suene exactamente con los ritmos principales; Si se cumple la hipótesis de Riemann, esta canción se puede crear tocando cada instrumento al mismo volumen .

Matemáticamente: deje que [math] \ pi (x) [/ math] denote el número de primos menor o igual que x. Recuerde la aproximación de Gauss : [matemática] \ pi (x) \ approx \ int_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} \, dt [/ math] (también conocida como “probabilidad de que un número n sea primo” es aproximadamente [matemáticas] \ frac {1} {\ log n} [/ matemáticas]).

Riemann mejoró la aproximación de Gauss al descubrir una fórmula exacta [matemática] P (x) = A (x) – E (x) [/ matemática] para contar los números primos, donde

• [matemática] P (x) = \ sum_ {p ^ k <x} \ frac {1} {k} [/ matemática] realiza un recuento ponderado de las potencias primarias menores o iguales que x. [Piense en esto como una generalización de la función de conteo primo. (De hecho, podemos calcular [math] \ pi (x) [/ math] mediante una transformación de Möbius de [math] P (x) [/ math].)]
• [matemáticas] A (x) = \ int_0 ^ x \ frac {1} {\ log t} \, dt + \ int_x ^ {\ infty} \ frac {1} {t (t ^ 2 -1) \ log t} \, dt [/ math] [math] – \ log 2 [/ math] es un tipo de generalización de la aproximación de Gauss.
• [matemáticas] E (x) = \ sum_ {z: \ zeta (z) = 0} \ int_0 ^ {x ^ z} \ frac {1} {\ log t} \, dt [/ math] es un error- factor de corrección que depende de los ceros de la función zeta de Riemann .

En otras palabras, si utilizamos una aproximación simple de Gauss a la distribución de los números primos, los ceros de la función zeta de Riemann se barren después de nuestros errores.

Profundicemos un poco más. En lugar de usar la fórmula de Riemann, voy a usar una versión equivalente [matemáticas] \ psi (x) = (x + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {- 2n}} { 2n} – \ log 2 \ pi) – \ sum_ {z: \ zeta (z) = 0} \ frac {x ^ z} {z} [/ math], donde [math] \ psi (x) = \ sum_ {p ^ k \ le x} \ log p [/ math].

(Todavía puede pensar en esto como en algún tipo de [matemática] P (x) = A (x) – E (x) [/ matemática].)

Dado que [math] \ psi (x) [/ math] es una función de paso que salta a las potencias principales, su derivada [math] \ psi ‘(x) [/ math] tiene picos en las potencias primarias y es cero en todas partes . Entonces considera

[matemáticas] \ psi ‘(x) = 1 – \ frac {1} {x (x ^ 2 – 1)} – \ sum_z x ^ {z-1} [/ matemáticas]

Es bien sabido que los ceros de la función zeta de Riemann son simétricos con respecto al eje real, por lo que los ceros (no triviales) vienen en pares conjugados [math] z, \ bar {z} [/ math]. Pero [matemáticas] x ^ {z-1} + x ^ {\ bar {z} – 1} [/ matemáticas] es solo una onda cuya amplitud depende de la parte real de z y cuya frecuencia depende de la parte imaginaria (es decir, , si [matemática] z = a + bi [/ matemática], entonces [matemática] x ^ {z-1} + x ^ {\ bar {z} -1} = 2x ^ {a-1} cos (b \ log x) [/ math]), lo que significa que [math] \ psi ‘(x) [/ math] puede descomponerse en una suma de ondas zeta-cero .

Por ejemplo, aquí hay gráficas de [math] \ psi ‘(x) [/ math] usando 10, 50 y 200 pares de ceros (observe los picos en los números primos y potencias primarias):

Entonces, cuando la hipótesis de Riemann dice que todos los ceros no triviales tienen la parte real 1/2, se plantea la hipótesis de que las ondas zeta-cero no triviales tienen la misma amplitud, es decir, hacen contribuciones iguales para contar los números primos.

En términos poéticos de Fourier , cuando Flying Spaghetti Monster compuso la música de los números primos, construyó las notas a partir de los ceros de la función zeta de Riemann. Si se cumple la hipótesis de Riemann, hizo todas las notas no triviales igualmente fuertes .

Answer 2

(Nota: esta respuesta se escribió originalmente para una pregunta con una redacción diferente, preguntando por la relación “en los términos más simples”. Lo dejo aquí por si es útil como una versión más simple de la respuesta de Edwin).

La relación directa fundamental es

[matemáticas] 1+ \ frac {1} {2 ^ x} + \ frac {1} {3 ^ x} + \ frac {1} {4 ^ x} + \ ldots = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {1-1 / 2 ^ x} \ cdot \ frac {1} {1-1 / 3 ^ x} \ cdot \ frac {1} {1-1 / 5 ^ x} \ cdots [/ math]

A la izquierda tenemos la función zeta de Riemann, evaluada en algún número real [matemática] x [/ matemática] que debe ser mayor que 1, y a la derecha hay un producto infinito de fracciones que involucran números primos (puede ver el 2 , 3 y 5. El siguiente sería 7, luego 11 y así sucesivamente).

Esta es una relación directa (relativamente) simple en términos de fórmulas, pero no necesariamente explica mucho sobre por qué y cómo las funciones zeta se relacionan con la distribución de números primos. Para ver esto, se requiere extender la igualdad anterior a valores complejos de [math] x [/ math], que es sencillo para algunos números complejos y no tan sencillo para otros (la parte difícil son esos números complejos “a la izquierda de” el número 1 )

Con eso en la mano, Riemann descubrió que la ubicación de los ceros de la función zeta (esos valores complejos de [matemática] x [/ matemática], llamados “raíces”, para los cuales [matemática] \ zeta (x) = 0 [/ matemática]) dice mucho acerca de la frecuencia con la que “aparecen” los números primos a medida que cuenta 1, 2, 3 y más. Más específicamente, es posible escribir una fórmula explícita para “cuántos primos hay menos que [math] N [/ math]”, y esta fórmula involucra las raíces de la función zeta; de hecho, solo lo “interesante” las raíces importan Estas son las raíces que están “a la izquierda de” 1 y “a la derecha de” 0.

La famosa hipótesis de Riemann postula que esas raíces interesantes en realidad se encuentran a lo largo de una línea en el plano complejo, la línea vertical a través de 1/2. Existen varias fórmulas aproximadas para el número de números primos menores que [math] N [/ math] que solo se sabe que son verdaderas si el RH es el caso; Aquí hay uno de ellos.

Sea [math] \ pi (N) [/ math] el número de primos menor que [math] N [/ math]. Deje que [math] \ mbox {Li} (x) [/ math] sea el valor de la integral

[matemáticas] \ displaystyle \ mbox {Li} (x) = \ int_ {0} ^ x \ frac {dt} {\ log (t)} [/ math].

Sabemos que [math] \ pi (N) [/ math] y [math] \ mbox {Li} (N) [/ math] están “cerca”, pero cuán cerca depende de la Hipótesis de Riemann. Si es verdad entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ left | \ pi (N) – \ mbox {Li} (N) \ right | <\ frac {1} {8 \ pi} \ sqrt {N} \ log (N) [/ math]

cuando [math] N [/ math] es suficientemente grande (digamos, [math] N> 3000 [/ math]).

Answer 3

La relación más trivial fue descubierta por Euler. Observó que la función Zeta de Riemann se puede escribir como un producto tomado sobre los números primos:

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s) = \ sum ^ {\ infty} _ {n = 1} {\ dfrac {1} {n ^ s}} = \ prod_ {p \ text {prime}} {\ dfrac {1} {1-p ^ {- s}}} \ tag * {} [/ math]

Aquí hay un boceto de la prueba:

[matemáticas] \ zeta (s) = 1 + \ dfrac {1} {2 ^ s} + \ dfrac {1} {3 ^ s} + \ dfrac {1} {4 ^ s} + \ dfrac {1} { 5 ^ s} + \ cdots \ tag * {} [/ math]

Luego, multiplicando esto por [math] \ dfrac {1} {2 ^ s} [/ math] da:

[matemáticas] \ dfrac {1} {2 ^ s} \ zeta (s) = \ dfrac {1} {2 ^ s} + \ dfrac {1} {4 ^ s} + \ dfrac {1} {6 ^ s } + \ dfrac {1} {8 ^ s} + \ dfrac {1} {10 ^ s} + \ cdots \ tag * {} [/ math]

Al restar [math] \ dfrac {1} {2 ^ s} \ zeta (s) [/ math] de [math] \ zeta (s) [/ math] obtenemos:

[matemáticas] \ left (1- \ dfrac {1} {2 ^ s} \ right) \ zeta (s) = 1 + \ dfrac {1} {3 ^ s} + \ dfrac {1} {5 ^ s} + \ dfrac {1} {7 ^ s} + \ dfrac {1} {9 ^ s} + \ dfrac {1} {11 ^ s} + \ dfrac {1} {13 ^ s} + \ cdots \ tag * {}[/matemáticas]

Podemos repetir esto para [math] \ dfrac {1} {3 ^ s} [/ math] y restar para obtener:

[matemáticas] \ left (1- \ dfrac {1} {3 ^ s} \ right) \ left (1- \ dfrac {1} {2 ^ s} \ right) \ zeta (s) = 1 + \ dfrac { 1} {5 ^ s} + \ dfrac {1} {7 ^ s} + \ dfrac {1} {11 ^ s} + \ dfrac {1} {13 ^ s} + \ dfrac {1} {17 ^ s } + \ dfrac {1} {19 ^ s} + \ cdots \ tag * {} [/ math]

Podemos repetir esto indefinidamente, de manera similar a cómo se puede usar el tamiz de Eratóstenes para tamizar los números primos. Entonces obtenemos:

[matemáticas] \ cdots \ left (1- \ dfrac {1} {7 ^ s} \ right) \ left (1- \ dfrac {1} {5 ^ s} \ right) \ left (1- \ dfrac {1 } {3 ^ s} \ right) \ left (1- \ dfrac {1} {2 ^ s} \ right) \ zeta (s) = 1 \ tag * {} [/ math]

Dividiendo ambos lados por el producto principal que obtenemos:

[matemáticas] \ zeta (s) = \ dfrac {1} {\ left (1- \ dfrac {1} {2 ^ s} \ right) \ left (1- \ dfrac {1} {3 ^ s} \ right ) \ left (1- \ dfrac {1} {5 ^ s} \ right) \ left (1- \ dfrac {1} {7 ^ s} \ right) \ cdots} \ tag * {} [/ math]

Que se puede escribir de manera más compacta como un producto sobre los números primos:

[matemáticas] \ zeta (s) = \ displaystyle \ prod_ {p \ text {prime}} \ dfrac {1} {1-p ^ {- s}} \ tag * {} [/ math]

Nota : Esta no es una prueba rigurosa, para probar esto rigurosamente necesitaríamos demostrar la convergencia del lado derecho tamizado a [matemáticas] 1. [/ Matemáticas]

Answer 4

Deje que [math] \ pi (x) [/ math] sea la función de conteo primo y [math] Li (x) [/ math] sea la función integral logarítmica de Gauss. Entonces, la hipótesis de Riemann es equivalente a

[matemáticas] | \ pi (x) – Li (x) | \ le \ tfrac {1} {8 \ pi} \, x ^ {\ frac {1} {2}} \ log x [/ math], siempre que [math] x \ ge 1451 [/ math] se mantenga. La estimación también es válida para [matemáticas] 2.01 \ le x <1451 [/ matemáticas], si el coeficiente [matemáticas] \ tfrac {1} {8 \ pi} [/ matemáticas] se reemplaza por [matemáticas] 1 [/ matemáticas ]

Permítanme hacer un comentario aquí: el dominio con un intervalo de longitud finita para [matemáticas] x [/ matemáticas] variado en la declaración anterior no afecta la validez de esta equivalencia.

Puede leer mi respuesta a otra pregunta: ¿alguien puede probar o refutar la hipótesis de Riemann?

Answer 5

Soy un tanto escéptico acerca de la ‘percepción’ que la función zeta de Riemann [matemática] \ zeta (s) [/ matemática] puede ofrecer en la distribución de los números primos, ya que los dos están relacionados teóricamente con números solo para valores reales de [matemática] ] s [/ math] mayor que [math] 1 [/ math].

A lo sumo, [math] \ zeta (s) [/ math] puede ayudar a estimar el error en [math] \ pi (n) [/ math] si tratamos erróneamente [math] 1 / log_ {e} n [/ math ] como la probabilidad analítica de que [math] n [/ math] sea primo, y concluye erróneamente que el número de primos menor o igual a [math] n [/ math] se aproxima analíticamente a [math] n / log_ { e} n [/ matemáticas].

Sin embargo, la importancia de la función zeta de Riemann para estimar [matemática] \ pi (n) [/ matemática] es difícil de ver si tratamos correctamente la probabilidad analítica de que [matemática] n [/ matemática] sea primo como [matemática] ] \ prod_ {i = 1} ^ {\ pi (\ sqrt {n})} (1 – \ frac {1} {p_ {i}}) \ sim \ frac {2e ^ {- \ gamma}} {log_ {e} n} [/ math], y el número [math] \ pi (n) [/ math] de primos menores o iguales a [math] n [/ math] como aproximados analíticamente por [math] \ sum_ { j = 1} ^ {n} \ prod_ {i = 1} ^ {\ pi (\ sqrt {j})} (1 – \ frac {1} {p_ {i}}) [/ math].

Ver:
Definiendo analíticamente la probabilidad principal

La curiosa reticencia a definir analíticamente la probabilidad principal

Answer 6

La función zeta de Riemann desempeña un papel esencial en la prueba del teorema de los números primos, que proporciona la densidad de los números primos. La forma en que los números primos entran en la función zeta de Riemann es a través de la hermosa relación del producto Euler. Esta relación muestra que la función zeta de Riemann se puede expresar de dos formas equivalentes: como una suma infinita de una función sobre los enteros positivos, o como un producto infinito de una función sobre los números primos.

Answer 7

En términos más simples,
La distribución de los números primos entre todos los números naturales no sigue ningún patrón regular, sin embargo, Riemann observó que la frecuencia de los números primos está muy relacionada con el comportamiento de una función elaborada.
[matemáticas] \ zeta (s) = 1 + \ frac {1} {2 ^ s} + \ frac {1} {3 ^ s} + \ frac {1} {4 ^ s} + \ cdots [/ math]
   
llamado la función Riemann Zeta . La hipótesis de Riemann afirma que todas las soluciones no triviales de la ecuación
[matemáticas] \ zeta (s) = 0 [/ matemáticas]

Acuéstese en cierta línea recta vertical con una “longitud” de [matemática] 0.5 [/ matemática].

Esto ha sido verificado para las primeras 1,500,000,000 soluciones. Una prueba de que es cierto para cada solución interesante arrojaría luz sobre muchos de los misterios que rodean la distribución de números primos.
PD: también puedes participar en la verificación de las hipótesis en ZetaGrid.

Answer 8

No tengo una buena manera de condensar la respuesta a su pregunta en una publicación legible de menos de 2000 palabras, así que lo dirigiré al recurso que me lo explicó mejor cuando era un estudiante de secundaria en la escuela secundaria. No es demasiado técnico o demasiado genérico.

También, si ha tomado Cálculo 2 o está en él ahora, tratar de probar la fórmula que se muestra a las 7:00. Si eso es fácil para usted, intente probar la relación entre [matemáticas] \ pi (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] J (x) [/ matemáticas]. Estos son pequeños problemas accesibles, interesantes y divertidos que hice en la escuela secundaria.

Answer 9

También recomendaría el libro reciente Prime Numbers and the Riemann Hypothesis (por Barry Mazur y William Stein), que hace un gran trabajo al proporcionar una introducción accesible a este tema exactamente. Es una lectura bastante fácil e interesante, sin importar cuál sea su experiencia.

Answer 10

Ver también: ¿Cuál es la relación entre la hipótesis de Riemann y los números primos?

Answer 11

Respuesta directa del múltiplo primo infinito de Euclides de todos los primos más 1, su mod (x, po) / po es 1 / po, la suma total de 1 / po es 1, que es la suma de todos los cero no triviales que componen cada número primo y es multiplicación, a partir de la realización del tamiz de Eratóstenes que tiene una fórmula de conteo de números primos exactos, vea el patrón de todos los cero en la línea x = 1/2 en el marco de p ^ 2 que también se usa para n entre p ^ 2 (ll p tiene 1 + 1 / 2 + 1/3 … función zeta de la conjetura de Erdos strauss a la fracción egipcia)

Answer 12

“¡Reflexiona sobre la maravillosa Serie Armónica!” 🙂

Recuerde que la enésima prima existe si y solo si la enésima zeta cero existe y que la hipótesis de Riemann es cierta. [1]

Hay una respuesta a esta famosa e importante pregunta. Consulte los siguientes enlaces para obtener una explicación detallada:

La respuesta de David Cole a ¿La enésima no

Series armónicas (matemáticas);

Prueba de la hipótesis de Riemann;

¿Por qué es cierta la hipótesis de Riemann?

La respuesta de David Cole a De las dos descripciones, una variedad o una red, ¿cuál describe mejor el campo de la materia, la energía y la información?

Notas al pie

[1] https://www.researchgate.net/pos …