Si a y b son números enteros coprimos positivos, ¿puede mostrar que el único MCD posible de [matemáticas] a + b [/ matemáticas] y [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas] son ​​1 y 2?

Answer 1

Si [math] p [/ math] es un primo impar y [math] a, b [/ math] son enteros positivos con [math] \ gcd (a, b) = 1 [/ math] , mostramos que

[matemática] \ mcd (a + b, \ frac {a ^ p + b ^ p} {a + b}) = 1 [/ matemática] o [matemática] p [/ matemática]. … (1)

Escriba [matemática] b = (a + b) -a [/ matemática] y amplíe por Teorema binomial para obtener

[matemáticas] b ^ p = (a + b) ^ p – {p \ elegir 1} a (a + b) ^ {p-1} + {p \ elegir 2} a ^ 2 (a + b) ^ { p-2} + \ cdots + {p \ elegir p-1} a ^ {p-1} (a + b) – a ^ p [/ math].

Por lo tanto

[matemáticas] \ frac {a ^ p + b ^ p} {a + b} = (a + b) ^ {p-1} – {p \ elegir 1} a (a + b) ^ {p-2} + {p \ elegir 2} a ^ 2 (a + b) ^ {p-3} + \ cdots – {p \ elegir p-2} a ^ {p-2} (a + b) + {p \ elegir p-1} a ^ {p-1} [/ math].

Por lo tanto, [matemática] \ frac {a ^ p + b ^ p} {a + b} = m (a + b) + pa ^ {p-1} [/ matemática]. Por lo tanto

[matemáticas] \ gcd (a + b, \ frac {a ^ p + b ^ p} {a + b}) = \ gcd (a + b, pa ^ {p-1}) [/ math]. … (2)

Dado que cualquier divisor primo común de [matemática] a [/ matemática] y [matemática] a + b [/ matemática] también debe dividir su diferencia (que es [matemática] b [/ matemática]), y desde [matemática] \ gcd (a, b) = 1 [/ math], [math] a [/ math] y [math] a + b [/ math] no pueden tener divisores primos comunes. En otras palabras, [math] \ gcd (a, a + b) = 1 [/ math].

Así, la ecuación. (2) se reduce a

[matemáticas] \ gcd (a + b, \ frac {a ^ p + b ^ p} {a + b}) = \ gcd (a + b, p) = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] p [/ matemáticas].

De hecho, el mcd es igual a [matemática] p [/ matemática] si y solo si [matemática] p \ mid (a + b) [/ matemática]. QED

Observación. Este problema no está directamente relacionado con el problema solicitado, pero tiene técnicas de prueba similares. Por lo tanto, se me solicitó escribir en esta solución. Por ejemplo,

[matemáticas] \ gcd (a + b, a ^ 2 + b ^ 2) = \ gcd (a + b, (a + b) ^ 2–2ab) = \ gcd (a + b, 2ab) = \ gcd ( a + b, 2) [/ matemáticas],

desde [math] \ gcd (a + b, a) = \ gcd (a + b, b) = 1 [/ math].

Answer 2

Tal vez. Trabajando fuera del puño, diría algo como:

Sin pérdida de generalidad, dejemos [matemática] a

Por el algoritmo de Euclides tenemos [matemática] mcd (d, a) = mcd (a, b) = mcd (b, c) = 1, mcd (d, b) = mcd (b, a) = mcd (a, – c) = 1 [/ math], por lo que [math] a, b, c, d [/ math] son ​​coprimos por pares.

Entonces, veamos [matemáticas] a + b = 2a + c [/ matemáticas] y [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = a ^ 2 + (a + c) ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2 + 2ac + c ^ 2 = 2a ^ 2 + 2ac + c ^ 2 = 2a ^ 2 + c (2a + c) = 2a ^ 2 + c (a + b) [/ matemáticas].

Por el algoritmo de Euclides, sabemos que [matemática] mcd (2a ^ 2 + c (a + b), a + b) = mcd (2a ^ 2, a + b) [/ matemática].

Como [math] a + b, a [/ math] son ​​números coprimos, también lo son [math] a + b, a ^ 2 [/ math], por lo que [math] a + b, 2a ^ 2 [/ math] solo puede posiblemente compartir 2 como cofactor. Entonces, los cofactores posibles para [matemáticas] a + b, a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas] son ​​1 (si [matemáticas] a + b [/ matemáticas] es impar) o 2 (si [matemáticas] a + b [/ math] es par.

Answer 3

Sea [math] k [/ math] un factor para [math] a + b [/ math]. Podemos decir que [matemática] a = kp + r [/ matemática] y [matemática] b = kq – r [/ matemática], donde todas las cantidades son enteros. Tenga en cuenta que [matemática] r [/ matemática] no puede ser [matemática] 0 [/ matemática] para [matemática] k> 1 [/ matemática]. [matemática] k [/ matemática] y [matemática] r [/ matemática] deben ser primos mutuos, ya que si existe un factor común contradeciría el hecho de que [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática ] son ​​mutuamente primos.

Si [math] k [/ math] también divide [math] a ^ 2 + b ^ 2 [/ math], entonces debemos tener que [math] 2r ^ 2 [/ math] es divisible por [math] k [/ matemática] (verificado por sustitución). Como [math] k [/ math] no puede dividir [math] r ^ 2 [/ math], solo puede dividir [math] 2 [/ math]. Por lo tanto, en enteros positivos, [math] k [/ math] solo puede ser [math] 1 [/ math] y [math] 2 [/ math].