Si [matemática] p> 3 [/ matemática] es primo, ¿cómo se puede demostrar que si [matemática] p ^ k + p ^ l + p ^ m = n ^ 2 [/ matemática] tiene soluciones naturales [matemática] k , l, m, n [/ math], [math] p + 1 [/ math] es divisible por [math] 8 [/ math]?

Answer 1

Para cualquier entero impar [matemática] a [/ matemática], [matemática] a ^ 2 \ equiv 1 \ pmod {8} [/ matemática]. Por lo tanto, las únicas posibilidades para [math] a ^ n \ bmod {8} [/ math] son ​​[math] 1 [/ math] y [math] a [/ math]. En particular, [math] p ^ k + p ^ {\ ell} + p ^ m \ bmod {8} [/ math] debe ser uno de [math] 3p, 2p + 1, p + 2, 3 [/ math ] Como [math] p ^ k + p ^ {\ ell} + p ^ m [/ math] es impar, [math] n ^ 2 \ equiv 1 \ pmod {8} [/ math], descartando el segundo y cuarto posibilidades

Para la primera posibilidad de mantener, debemos tener [math] 3p \ equiv 1 \ pmod {8} [/ math] y [math] k, \ ell, m [/ math] todos impares. Con [math] k \ ge \ ell \ ge m [/ math], sin pérdida de generalidad,

[matemáticas] p ^ k + p ^ {\ ell} + p ^ m = p ^ m (p ^ {km} + p ^ {\ ell-m} +1) [/ matemáticas]. … (1)

El término en la ec. (1) puede ser un cuadrado solo si [math] p \ mid (p ^ {km} + p ^ {\ ell-m} +1) [/ math], ya que [math] m [/ math] es impar. Esto solo es posible si [math] km = 0 [/ math] y [math] p = 3 [/ math], y por lo tanto se descarta porque [math] p> 3 [/ math].

Por lo tanto, [math] p + 2 \ equiv 1 \ pmod {8} [/ math] o [math] 8 \ mid (p + 1) [/ math].

Answer 2

Supongamos que existe una tupla [matemática] (k, l, m, n) [/ matemática] para la cual se cumple la ecuación, entonces también existe una tupla [matemática] (l ‘, m’, n ‘) [/ matemática] para el cual [matemáticas] 1 + p ^ {l ‘} + p ^ {m’} = n ‘^ 2 [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que [math] p [/ math] nunca divide [math] 1 + p ^ {l ‘} + p ^ {m’} [/ math] – a menos que [math] p = 3 [/ math] – así que lo anterior ecuación se cumple.

Por lo tanto, estamos tratando de encontrar los valores para l y m para que [math] p ^ l + p ^ m = n ^ 2 – 1 [/ math]. En el lema 2:

[matemáticas] p ^ 2 = 1 \ mod 8 [/ matemáticas]

(Para probar esto, use que [math] p [/ math] es impar).

Colouario 1: [matemáticas] p ^ k \ in \ {1, p \} \ mod 8 [/ matemáticas]

Coloquio 2: [matemática] p ^ l + p ^ m \ in \ {2, p + 1, 2p \} \ mod 8 [/ matemática]

Lema 3:

[matemáticas] n ^ 2 – 1 \ en \ {7, 0, 3 \} \ mod 8 [/ matemáticas]

Desafortunadamente, ni [matemáticas] 2 [/ matemáticas] ni [matemáticas] 2p [/ matemáticas] pueden ser iguales a [matemáticas] 7 [/ matemáticas], [matemáticas] 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] 3 \ mod 8 [ / math] (recuerda que p es impar).
Por lo tanto,

[matemáticas] p \ in \ {6, 7, 2 \} \ mod 8 [/ matemáticas]

Recuerde nuevamente que [math] p [/ math] es impar:

[matemáticas] p = 7 \ mod 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow 8 | p + 1 [/ matemáticas]

QED