Esta es precisamente la definición de un conjunto infinito: un conjunto [matemático] S [/ matemático] es infinito si existe un subconjunto apropiado [matemático] S ‘\ subconjunto S [/ matemático] de modo que haya una biyección entre [matemático] S ‘[/ matemáticas] y [matemáticas] S [/ matemáticas].
En el caso del conjunto de enteros positivos [math] \ mathbb {N} [/ math] y el conjunto de enteros impares positivos [math] \ mathbb {N} _ {odd} [/ math], la biyección [math] f: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N} _ {impar} [/ math] se define por
[matemáticas] f (n) = 2n + 1 [/ matemáticas]
Es fácil ver que [math] f [/ math] es surjective, ya que un entero positivo es impar precisamente cuando tiene la forma [math] 2n + 1 [/ math] para algunos [math] n [/ math] , y también es fácil ver que [matemática] f [/ matemática] debe ser inyectiva, ya que [matemática] m \ neq n [/ matemática] implica que [matemática] 2m + 1 \ neq 2n + 1 [/ matemática] .
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El hecho de que exista una biyección entre el conjunto de enteros positivos y el conjunto de enteros positivos impares, de hecho, le pareció una paradoja. Vea, por ejemplo, la paradoja de Galileo: una serie infinita de números cuadrados para una explicación popular de esto.
La razón por la que definimos que los conjuntos arbitrarios [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] tienen la misma cardinalidad si existe una biyección entre ellos es que esta es la generalización natural de la noción correspondiente para conjuntos finitos .