Cómo demostrar que la hipotenusa de un triple pitagórico es siempre una pierna de algún otro triple pitagórico

Answer 1

Puedo responder mi propia pregunta.

Es suficiente para demostrar que todos los enteros [matemática] n> 2 [/ matemática] pueden ser una parte de un triple.

Para hacer eso, podemos ver que si [matemáticas] n ^ 2 + m ^ 2 = k ^ 2 [/ matemáticas] entonces:

[matemáticas] n ^ 2 = k ^ 2 – m ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ 2 = (k + m) (k – m) [/ matemáticas]

Para impares [matemáticas] n [/ matemáticas] definamos:

[matemáticas] 1 = (k – m) [/ matemáticas]

Entonces:

[matemáticas] n ^ 2 = (k + m) [/ matemáticas]

Fácil de ver que:

[matemáticas] k = (n ^ 2 + 1) / 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] m = (n ^ 2 – 1) / 2 [/ matemáticas]

Es decir, [matemática] k [/ matemática] y [matemática] m [/ matemática] existe para impar [matemática] n> 2 [/ matemática].

Para incluso [math] n [/ math] definamos:

[matemáticas] 2 = (k – m) [/ matemáticas]

Entonces:

[matemáticas] n ^ 2/2 = (k + m) [/ matemáticas]

[matemática] k [/ matemática] y [matemática] m [/ matemática] pueden ser incluso para [matemática] n> 2 [/ matemática]:

[matemáticas] k = n ^ 2/4 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] k = n ^ 2/4 – 1 [/ matemáticas]

Eso significa que para cada número entero [matemática] n> 2 [/ matemática] existe [matemática] n ^ 2 + m ^ 2 = k ^ 2 [/ matemática] (es decir, [matemática] n [/ matemática] es una pierna).

Si toma cualquier número entero [matemáticas] h> 2 [/ matemáticas] como hipotenusa, obviamente sería una pata de algún otro triple como se muestra arriba.

Fuente: Una manera simple de resolver el problema C de Round368 Div.2 – Codeforces

Answer 2

Diophantus demostró antiguamente que todos los triples pitagóricos tienen la forma

[matemáticas] x = k (i ^ 2-j ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 2ijk [/ matemáticas]

[matemáticas] z = k (i ^ 2 + j ^ 2) [/ matemáticas]

donde para un triple primitivo (sin factores comunes) k = 1, e i y j deben ser relativamente primos y no ambos impares. Cualquier número, no solo uno que aparece como z en algún triple, puede convertirse en x o y en algún triple: si el número es par, por supuesto puede ser y; o si es impar, factorizarlo como (ij) (i + j). Por ejemplo, 5 en el triple (3,4,5) solo factoriza como 1 por 5, pero 1 = 3–2 y 5 = 3 + 2 (aquí 3 es la mitad de la suma de los factores y 2 es la mitad de la diferencia , ambos enteros ya que 5 es impar y, por lo tanto, ambos factores tuvieron que ser impares), por lo tanto x = 5, y = 12 (2 veces 3 veces 2), z = 13 (3 ^ 2 + 2 ^ 2). O bien, 6 no es la hipotenusa z en ningún triple, pero hágalo y = 2ij para i = 3, j = 1 y luego x = 8, z = 10, que no es un triple primitivo pero al menos es un triple pitagórico.