Bien, déjame intentarlo, lo estoy intentando por puro instinto, ya que no he estado en contacto con la teoría de los números por un tiempo. Cualquier corrección es bienvenida.
[matemáticas] 3 ^ {3 ^ {2012}} (\ mod 5) [/ matemáticas]
Primero nos ocuparemos del poder [matemáticas] 3 ^ {2012} [/ matemáticas]
Usando el Teorema del Totiente de Euler,
- ¿Cuántos pares diferentes [matemáticas] (x, y); x, y \ in \ mathbb {Z} ^ {+} [/ math] satisface [math] \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} = \ frac {1} {n} [/ math], con [math] n [/ math] siendo una constante entera dada [math] \ geq 2 [/ math]?
- ¿Por qué la codificación aritmética puede tener una longitud de palabra de código fraccional?
- ¿Son los primos más grandes conocidos primos consecutivos?
- Cómo obtener la secuencia de árbol Calkin-Wilf de la secuencia de árbol Stern-Brocot
- Para cuántos valores posibles de [matemática] n [/ matemática] es [matemática] k = 1! +2! +3! +… + N! [/ matemáticas] un cuadrado perfecto?
Para enteros positivos coprimos [math] a [/ math] y [math] m [/ math] , tenemos [math] a ^ {\ phi (m)} \ equiv 1 (\ mod m) [/ math]
[matemáticas] \ phi (5) = 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 3 ^ {2012} = (3 ^ 4) ^ {503} \ mod 5 = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 3 ^ {3 ^ {2012}} = 3 ^ 1 \ mod 5 = 3 [/ matemáticas]
Del mismo modo, podemos tener [matemáticas] 2 ^ 4 = 1 \ mod 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 2 ^ {342} = 2 ^ {340} \ cdot 2 ^ 2 \ mod 5 [/ matemáticas]
[Si los dos últimos dígitos de un número son divisibles por [matemática] 4 [/ matemática], entonces el número entero es divisible por [matemática] 4 [/ matemática], a partir del criterio de divisibilidad]
[matemáticas] \ implica 2 ^ {342} = (2 ^ 4) ^ {85} \ mod 5 \ veces 2 ^ 2 \ mod 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 2 ^ {342} = 4 \ mod 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 ^ {3 ^ {2012}} \ cdot 2 ^ {342} (\ mod 5) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ equiv 3 \ veces 4 (\ mod 5) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ equiv 12 (\ mod 5) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ equiv 2 (\ mod 5) [/ matemáticas]