Para cuántos valores posibles de [matemática] n [/ matemática] es [matemática] k = 1! +2! +3! +… + N! [/ matemáticas] un cuadrado perfecto?

Answer 1

La respuesta a esta pregunta se puede responder de forma lógica y mediante una simple experimentación.

Primero intente y comprenda que por cada número cuadrado perfecto, el último dígito del número tiene uno entre 1,4,5,6,9,0. Comprenderá esto si intenta cuadrar los primeros números naturales.

Ahora, simplemente comienza a resolver k para n = 1,2,3,4,5, hasta 6 y tendrás tu respuesta.

Para n = 1, k (1) = 1

Para n = 2, k (2) = k (1) +2! = 3

Para n = 3, k (3) = k (2) +3! = 9

Para n = 4, k (4) = k (3) +4! = 33

Para n = 5, k (5) = k (4) + 5! = 33 + 120 = 153

Para n = 6, k (6) = k (4) + 5! +6! = 33 + 120 + 720 = 873

Mire esto y observe que cada valor posible de k para n> 3 termina con 3. Esto se debe a que el factorial de cada número 5 o más termina con cero y tenemos que agregarle el valor de k (4).

Por lo tanto, solo n = 1 yn = 3 son la única solución posible.

Answer 2

Solo [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas] producen cuadrados perfectos, para un total de [matemáticas] 2 [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que ningún cuadrado perfecto tiene un dígito de unidades de 3. Para enteros [matemática] a, b [/ matemática], donde [matemática] 0 \ le b \ le 9 [/ matemática], tenemos [matemática] (10a + b ) ^ 2 = 100a ^ 2 + 20ab + b ^ 2 = 10 (10a ^ 2 + 2ab) + b ^ 2 [/ matemática], entonces las unidades de dígitos de [matemática] (10a + b) ^ 2 [/ matemática] es lo mismo que el dígito de las unidades de [math] b ^ 2 [/ math]. Calcular el dígito de las unidades de [matemáticas] b ^ 2 [/ matemáticas] para todas las [matemáticas] b [/ matemáticas] válidas muestra que los dígitos de unidades posibles para un cuadrado perfecto son [matemáticas] 0, 1, 4, 5, 6, 9 [/matemáticas].

Pero para todos [math] n \ ge 4 [/ math], la suma [math] \ sum_ {i = 1} ^ ni! [/ Math] tiene unidades de dígitos [math] 3 [/ math]. Esto es porque [matemáticas] 1! + 2! + 3! + 4! = 33 [/ math] y cada factorial pasado [math] 4! [/ Math] tiene un dígito de unidades de [math] 0 [/ math]. Por lo tanto, esta suma puede ser un cuadrado perfecto solo para [math] n \ le 3 [/ math]. Los valores [matemática] n = 1, 2, 3 [/ matemática] producen [matemática] k = 1, 3, 9 [/ matemática], que es un cuadrado perfecto cuando [matemática] n = 1 [/ matemática] o [ matemáticas] n = 3 [/ matemáticas].

Answer 3

El último dígito de [math] 5! [/ Math] y en adelante es cero.

Por lo tanto, podemos ver [math] 1! +2! +3! +4! + …… + n! [/ Math] produce [math] 3 [/ math] como último dígito.

Pero un número que contenga [math] 3 [/ math] como último dígito no puede ser un cuadrado perfecto.

es decir, solo para dos valores de [matemática] n: [/ matemática] [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] 3 [/ matemática] la suma es un cuadrado perfecto.

[matemáticas] [1! +2! +3! = 9] [/ matemáticas]

HECHO.

Answer 4

Dado que [matemáticas] n ^ 2 \ equiv 0,1 \ mod 4 [/ matemáticas]

Entonces, si [math] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ nk! \ Equiv 1! +2! +3! = 9 \ equiv 1 \ mod 4. [/ Math]

Entonces, ¿es que todos tienen un cuadrado perfecto para cualquier n

¡No!

Por lo tanto, para todos [matemáticas] n \ ge 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] n! \ equiv 0 \ mod 10 [/ matemáticas]

Así que los últimos dígitos de [matemáticas] 1! +2! +3! +4! \ Equiv 3 \ mod 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] Dado que [/ matemáticas] cualquier cuadrado perfecto no puede tener un dígito final 3, por lo que la única solución es 3.

Answer 5

En realidad, el problema original pide todas las n para las cuales k es una potencia perfecta. La respuesta sigue siendo 1 y 3. Una forma de demostrar esto es observar que para todos n> 21, k tiene exactamente un factor de 11. (Puede encontrar esto tomando la suma del módulo 121). Todos los factoriales más allá de 21 son múltiplos de 121 y, por lo tanto, son 0 mod 121.

Entonces k no es una potencia perfecta para todos n> 21, y uno puede verificar manualmente que no n por debajo de 22 genera la potencia perfecta k, barra 1 y 3.