¿La ecuación [matemática] 6m ^ {3} = n (n + 1) (n + 2) [/ matemática], donde [matemática] m, n [/ matemática] son ​​números naturales y [matemática] n \ neq 1 [/ math], ¿tienes alguna solución?

Answer 1

Voy a esbozar un argumento y dejar que completes algunos detalles, pero esencialmente creo que no hay soluciones no triviales. En primer lugar, tenga en cuenta que existen soluciones triviales para: [matemáticas] n = 0, n = -1, n = -2 [/ matemáticas], todas las cuales corresponden a [matemáticas] m = 0. [/ Matemáticas]

Ahora suponga que está buscando soluciones distintas de cero, es decir, [matemática] m \ neq 0. [/ matemática] Entonces el lado izquierdo se factoriza como [matemática] 6m ^ 3 = m. (2m). (3m). [/ Matemática ] Si [matemática] m> 1, [/ matemática] entonces debe tener un factor primo [matemática] p> 1. [/ matemática] Entonces [matemática] p ^ 3 [/ matemática] divide el lado derecho. Sin pérdida de generalidad si [matemática] p [/ matemática] divide [matemática] n, [/ matemática] entonces [matemática] p [/ matemática] no puede dividir [matemática] (n + 1) [/ matemática] ni [matemática] (n + 2). [/ math] Por lo tanto, concluimos que [math] p = 1 [/ math] o [math] p ^ 3 [/ math] divide [math] n. [/ math] Dado que asumimos [math] p> 1 , [/ math] la última conclusión fuerza [math] (n + 1) (n + 2) = 6 [/ math] que a su vez implica [math] n = 1 [/ math] (y [math] p = 1 [/ matemáticas]).

Answer 2

Este será un método poco elegante en el mejor de los casos; pero dado que no ha habido demasiadas respuestas en los últimos dos días, esto tendrá que hacerse por ahora. Siéntase libre de señalar fallas y / o sugerir mejoras cuando corresponda.

Sea [math] m = a ^ {\ alpha} b ^ {\ beta} c ^ {\ gamma} \ cdots [/ math] cuando se desglosa en sus factores primos junto con su multiplicidad. Entonces,

[matemáticas] m ^ 3 = a ^ {3 \ alpha} b ^ {3 \ beta} c ^ {3 \ gamma} \ cdots \ implica 2 \ veces 3 \ veces a ^ {3 \ alpha} b ^ {3 \ beta} c ^ {3 \ gamma} \ cdots = n (n + 1) (n + 2) [/ math]

Debido a que los pares [matemática] (n, n + 1) [/ matemática] y [matemática] (n + 1, n + 2) [/ matemática] son ​​primos mutuos, y [matemática] (n, n + 2) [ / math] puede tener como máximo un factor común de [math] 2 [/ math], podemos deducir (señalando todas las posibilidades) que de [math] n [/ math], [math] n + 1 [/ math ] y [matemáticas] n + 2 [/ matemáticas],

• Uno de ellos es un cubo perfecto.
• Uno de ellos es dos veces un cubo perfecto,
• Uno de ellos es tres veces un cubo perfecto.

Por lo tanto, si son posibles soluciones enteras positivas a la ecuación anterior, entonces al menos algunas de las ecuaciones siguientes también deben tener soluciones enteras positivas.

[matemáticas] a ^ 3 – 2b ^ 3 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2a ^ 3 – b ^ 3 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 3 – 2b ^ 3 = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2a ^ 3 – b ^ 3 = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 3 – 3b ^ 3 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3a ^ 3 – b ^ 3 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 3 – 3b ^ 3 = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3a ^ 3 – b ^ 3 = 2 [/ matemáticas]

Simplemente elegiremos uno al azar y demostraremos cómo procesarlos. La idea es mostrar que la solución a uno de ellos debe estar en un cierto rango y luego marcar cada número entero positivo en ese rango. Elegimos este:

[matemáticas] a ^ 3 – 3b ^ 3 = 1 [/ matemáticas]

Deje [math] b = \ dfrac {a} {k} [/ math]. Entonces,

[matemáticas] a ^ 3 \ izquierda (1 – \ dfrac {3} {k ^ 3} \ derecha) [/ matemáticas]

Está claro que a medida que [math] k [/ math] aumenta, a también. Comenzamos con una conjetura razonable sobre [matemática] k [/ matemática]: esperamos que sea en algún lugar cercano a [matemática] \ sqrt [3] {3} [/ matemática], que es aproximadamente [matemática] 1.44 [/ matemáticas]. Primero resolvemos para [matemáticas] k = 1.5 [/ matemáticas]. Obtenemos [math] a = \ sqrt [3] {9} [/ math], que es un poco más de [math] 2 [/ math]. Por lo tanto, esta [matemática] k [/ matemática] es aparentemente demasiado grande. Tomamos uno más pequeño – [matemática] k = 1.4 [/ matemática]. Obtenemos una solución para una que es negativa. Por lo tanto, solo se reduce a verificar si el número [matemática] 2 [/ matemática] se ajusta a cualquiera de [matemática] n [/ matemática], [matemática] n + 1 [/ matemática] o [matemática] n + 2 [/ math], que solo ocurre cuando [math] n [/ math] es [math] 1 [/ math].

Con un poco de habilidad en programación, puede escribir un programa corto para automatizar esto por usted y verificar todas las posibles soluciones. Sospecho que no hay ninguno.