¿Son los primos más grandes conocidos primos consecutivos?

Answer 1

No, no son números primos consecutivos.

Podemos hacer estimaciones del número de números primos de cada uno de los dos, y ver que se espera un gran número de números primos entre ellos. Del mismo modo, podríamos mirar los tamaños de brecha esperados. O más directamente, use el postulado de Bertrand para ver que debe haber números primos entre ellos.

Los primos de Mersenne son generalmente los más grandes conocidos en un momento dado por varias razones. Hay una serie de optimizaciones para las pruebas preliminares, por ejemplo, los exponentes deben ser primos, por lo que inmediatamente descartamos todos los exponentes compuestos; p = 3 mod 4 permite una prueba de divisibilidad trivial; Los factores tienen una forma particular que hace que la división de prueba consuma mucho menos tiempo que las formas generales. Esto permite una comunicación extremadamente rápida de posibles exponentes en comparación con otras formas. Finalmente, la prueba de Lucas-Lehmer es extremadamente eficiente.

La prueba LLR es esencialmente tan eficiente para la prueba determinista de primalidad, y muchos de los primos superiores más pequeños que los Mersenne más grandes son de esta forma (k * 2 ^ n-1 con 2 ^ n> k). El dominio de Mersenne probablemente se deba al esfuerzo proporcionado (a través de GIMPS), la eficiencia de las pruebas preliminares y la historia.

Para formas generales, generalmente queremos usar algo como BPSW para una prueba principal probable. Es extremadamente rápido en comparación con las pruebas de forma general, aunque en realidad es más lento que la prueba de Lucas-Lehmer (aunque las últimas manzanas solo para los números de Mersenne). Para números mayores que 2 ^ 64 existe la posibilidad de que pueda estar equivocado, aunque nadie ha encontrado un contraejemplo en 36 años de uso.

Para las pruebas de primalidad, idealmente, el número es una forma especial que permite pruebas rápidas. Pero si no es así, normalmente usamos ECPP, que es factible a alrededor de 30k dígitos en software / hardware contemporáneo. Produce certificados de primalidad que pueden ser analizados eficientemente por programas de terceros para verificar la primalidad. Alternativamente, para números de menos de ~ 10k dígitos, APR-CL funciona bastante bien, aunque sin certificado. Para números de menos de cien dígitos, los métodos BLS75 de la década de 1970 todavía funcionan. AKS es un resultado teórico fascinante, pero es demasiado lento para ser utilizado en la práctica.

Answer 2

Los números verdaderamente grandes que probablemente son candidatos para ser primos, y que pueden verificarse usando pruebas de primalidad conocidas, son bastante escasos. En consecuencia, hay muchos números primos no descubiertos entre dos candidatos probables.

Cuando hablamos de poder probar la primalidad de un número candidato, estamos hablando de métodos numéricos que pueden considerarse como implementaciones de una verificación mecánica como el Lehmer Sieve.

Para que un tamiz funcione en cualquier número, se deben verificar todos los números primos hasta la raíz cuadrada del número verificado. Como han notado otros coroanos, unos pocos números nos permiten verificar la primalidad con un tamiz que usa solo un subconjunto muy pequeño de estos primos.

Answer 3

No

Una vez que los números se vuelven realmente grandes, verificar su primalidad se vuelve difícil. La prueba de primalidad de números arbitrarios requiere algoritmos como la prueba de primalidad AKS, que son extremadamente costosos computacionalmente. Por lo tanto, lo que generalmente se hace es mirar los números de Mersenne, que son números del tipo [matemática] 2 ^ p-1 [/ matemática] y se puede verificar su primalidad de manera mucho más eficiente utilizando la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer (aún requiere una prueba masiva recursos computacionales usando Great Internet Mersenne Prime Search). Muchos de los números primos más grandes conocidos son, por lo tanto, primos de Mersenne, y definitivamente existen múltiples números primos entre ellos, como se puede ver fácilmente en el postulado de Bertrand.

Answer 4

No. Un teorema en la teoría de números (Postulado de Bertrand) dice que siempre hay un número primo entre n y 2n.

El primo más grande conocido es [math] 2 ^ {74207281} –1 [/ math] y el segundo más grande es [math] 2 ^ {57885161} –1 [/ math]. El más grande es aproximadamente [matemático] 2 ^ {16322120} [/ matemático] veces más grande, por lo que se garantiza que habrá más de 16 millones de primos entre los dos. Pero esta no es una estimación particularmente buena.

El teorema de conteo de números primos [matemática] \ pi (n) \ aprox n / \ ln n [/ matemática] da una aproximación,

[matemáticas] \ pi (2 ^ {74207281}) \ aproximadamente 2 ^ {74207281} / 74207281 \ ln 2 \ aproximadamente 2 ^ {74207255} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ pi (2 ^ {57885161}) \ aprox 2 ^ {57885161} / 57885161 \ ln 2 \ aprox 2 ^ {57885136} [/ matemáticas]

Restando estos dos dice que hay aproximadamente [matemáticas] 2 ^ {74207255} [/ matemáticas] números primos entre los dos números primos. Es decir, el número de primos menor que [matemática] 2 ^ {57885161} [/ matemática] es insignificante en comparación con el número de primos esperado entre estos dos primos más grandes. Son tan grandes y tan distantes.